جبر

مفهوم رياضي
المسمى العربي	علم الجبر
المسمى اللاتيني	غير معرف
الرمز العربي	غير معرف
الرمز اللاتيني	إيفاريست جالويس-محمد بن موسى الخورازمي
رياضيون	نظرية الزمر-نظرية المجال-نظرية الحلقة
نظريات ومسلمات
كتب ومراجع	{{{7}}}

ملف:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg

الصفحة الأولى من الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة للخوارزمي

الجَبْر كلمة عربية وهو فرع من علم الرياضيات وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي (الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة) الذي قدم العمليات الجبرية التي تنظم إيجاد حلول للمعادلات الخطية والتربيعية.

ويشكل علم الجبر أحد الفروع الثلاثة الأساسية في الرياضيات إضافة إلى الهندسة الرياضية والتحليل الرياضي ونظرية الأعداد والتباديل والتوافيق. ويهتم هذا العلم بدراسة البنى الجبرية والتماثلات بينها، والعلاقات والكميات.

والجبر هو مفهوم أوسع وأشمل من الحساب أو الجبر الابتدائي. فهو لا يتعامل مع الأرقام فحسب، بل يصيغ التعاملات مع الرموز والمتغيرات والفئات كذلك. ويصيغ الجبر البدهيات والعلاقات التي بواسطتها يمكن تمثيل أي ظاهرة في الكون. ولذا يعتبر من الأساسيات المنظمة لطرق البرهان.

تصنيف

يقسم علم الجبر لعدة فروع.

• الجبر الابتدائي، وفيه يتم دراسة خصائص الأعداد الحقيقية، وتستخدم رموز للتعبير عن المتغيرات والثوابت، وتتم دراسة القواعد التي تضبط المعادلات والتعابير الرياضية المكونة من هذه الرموز. ويتم تدريسه غالبا في التعليم الثانوي إضافة إلى إعطاء أفكار أساسية حول بقية مواضيع الجبر التجريدي في الجبر الابتدائي تتم دراسة جمع وضرب الأعداد، ودراسة كثيرات الحدود وطرق إيجاد الجذور لكثيرات الحدود هذه.

• الجبر التجريدي، وفيه تتم دراسة البنى الجبرية كالزمر (أو المجموعات) والحلقات والحقول (أو المجالات)، والفضاء الشعاعي (أو فضاء المتجهات أو الفراغ الاتجاهي) الذي يمثل عصب دراسة الجبر الخطي. ويتم بعد ذلك في الجبر التجريدي، عملية تجريد للعملية الحسابية فيستعاض عن الأعداد برموز تدعى في الجبر متغيرات أو عناصر لمجموعة ما. عندئذ تصبح عمليات الجمع والضرب مجرد أمثلة عن المؤثرات الجبرية والعمليات الجبرية الثنائية، وتعريف هذه العمليات يقودنا إلى بنى جبرية مثل الزمر، والحلقات، والحقول.

• الجبر الخطى، وهو مهتم بدراسة المتجهات، الفراغات الخطية، التحويلات الخطية، ونظم المعادلات الخطية. تعتبر فراغات المتجهات موضوعا مركزيا في الرياضيات الحديثة؛ لذا يعتبر الجبر الخطي كثير الاستعمال في كلا من الجبر المجرد والتحليل الدالي. الجبر الخطي له أيضاً أهمية قصوى في الهندسة التحليلية كما أن له تطبيقات شاملة في العلوم الطبيعة والعلوم الاجتماعية.

• الجبر الشامل، وفيه تتم دراسة الخواص العامة لكل البنى الجبرية.

• جبر الأعداد، وهو يهتم بدراسة خواص الأعداد من الناحية النظرية.

• الجبر الهندسي، ويهتم بدراسة تجريد قواعد الهندسة.

• جبر التوافيق، ويهتم بدراسة التباديل والتوافيق.

• جبر الحاسوب، وفيه تتم دراسة الخوارزميات الخاصة بالتعامل مع الكائنات الرياضية

الجبر الابتدائى

طالع أيضاً: جبر ابتدائي

الجبر الابتدائي هو أبسط أنواع الجبر الذي يتم تدريسه لطلاب الرياضيات المفترض محدودية معرفتهم برياضيات ما بعد الأعداد. يشكل هذا الفرع من الجبر الذي يتعامل مع كثيرات الحدود والمعادلات وطرق إيجاد جذور المعادلات وطرق حلها. ويعتمد الجبر الابتدائي على عمليتين أساسيتين هما الجمع والضرب. لكل من هاتين العمليتين عملية معاكسة. العملية المعاكسة للجمع هي الطرح. والعملية المعاكسة للضرب هي القسمة. يعتمد الجبر الابتدائي أيضا على رقمين بالغى الأهمية هما الصفر والواحد. يدعى الصفر بالمحايد الجمعى والواحد بالمحايد الضربى. يعتبر الواحد أيضا المولد الأساسي للجبر الابتدائي.

وتعرف عملية الجمع بتكرار جمع الرقم واحد والذي يغير النتيجة إلى الرقم التالي. أي رقم مجموع عليه واحد يساوى الرقم الذي يليه

$1+1=2$ و

$2+1=3$ ومنها

أي رقم مجموع مع أي رقم آخر يتم تحليل أحدهما لمجموع الآحاد كما يلى

$2+2=2+1+1=3+1=4$ وكذلك

$2+3=2+1+1+1=3+1+1=4+1=5$ وهكذا.

بينما تعرف عملية الضرب بتكرار الجمع. فمثلا

$5\times 2=5+5=2+2+2+2+2=10$

وهكذا.

وتحقق كلتا العمليتان خواص الابدال والتجميع ويحقق الضرب وحده خاصية التوزيع على الجمع.

كثيرات الحدود

كثيرة الحدود هي دالة رياضية أو تركيب جبري تتكوّن من إحدى أو كثرة من الثوابت والمتغيرات، يتم بناءها باستخدام العمليات الأربعة الأساسية فقط: الجمع والطرح والضرب والقسمة.

$p(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}xn-1+...+a_{1}x+a_0$

وتحقق كثيرات الحدود خاصيتي الاتصال بمعنى أنها تحقق قيمة $p(x)$ لكل $x$ والقابلية للنفاضل أي توجد لها مشتقات من جميع الرتب عند جميع النقاط.

معادلات كثيرة الحدود ومعادلات جبرية

ولا تزال كثيرات الحدود تلعب دور في الجبر عندما تــُــناقــَـش المساواة $p(x)=0$ أي المعادلات كثيرة الحدود ، وهي صنف من المعادلات الجبرية . ومعظم المشاكل التي تـُـناقـَـش من المعادلات الجبرية في الحاضر ما بقت تكون بسيطة ؛ بل تـُـناقش بأسلوب الجبر التجريدي ؛ ومن ضمنها معادلات ديوفانطس وغير تلك .

الجبر الشامل

طالع أيضاً: جبر شامل

من وجهة نظر الجبر الشامل، الجبر أو الجبر التجريدي هو مجموعة $A$ مزودة بجموعة من العمليات على $A$. نقول أن هناك عملية نونية (من الرتبة نون) معرفة على $A$ تمثل دالة رياضية تأخذ $n$ عنصر من المجموعة $A$ وتعطي كنتيجة عنصرا وحيدا من $A$.

لذلك فإن العملية اللاشيئية حيث $n=0$ يمكن أن تمثل عنصرا وحيدا من $A$ أو ما يدعى بالثابت غالبا يرمز له بحرف مثل $a$.

بالمقابل العملية الأحادية (حيث $n=1$) ببساطة عبارة عن دالة من $A$ إلى $A$ يمثل غالبا برمز يوضع أمام مدخل العملية كأن نقول $a$. أما العملية الثنائية تمثل برمز يكتب بين مدخلي العملية: $a*b$.

العمليات من رتب أعلى غالبا ما تمثل بشكل رمز دالة والمدخلات توجد ضمن قوسين: $f(x,y,z)$ أو $f(x_1,...,x_n)$.

يعمد بعض الرياضيين أيضا إلى تعريف عمليات لامنتهية (حيث $n=\mathrm{\infty }$) مثل $\underset{\alpha }{\bigwedge }{x}_{\alpha }$، التي تسمح بدراسة نظرية جبرية للمشابك الكاملة.

يمكن أن ننظر للجبر الشامل على أنه فرع خاص من نظرية النموذج نتعامل فيها مع البنى التي تملك عمليات فقط (أي دون علاقات)،يتم فيها الحديث عن بنى تستخدم معادلات فقط.

كائنات جبرية

تستخدم كلمة الجبر مع أنواع عديدة من البنى الجبرية :

• دالة جبرية
• جبر على حقل
• جبر على مجموعة
• جبر بولياني
• جبر إف جبر إف المرافقفي نظرية التصنيف.
• جبر سيغما.

اقرأ أيضا

• الخوارزمي مؤسس علم الجبر.
• المبرهنة الأساسية في الجبر
• نظام جبري حاسوبي

مصادر

• كيف تفهم الجبر. كتب على النت حول الجبر.
• Algebra Software حلول لمسائل الجبر على النت.
• Algebra Help دروس جبر على النت.
• الجبر- أفكار أساسية     ست فصول تغطي أساسيات الجبر.
• أضواء على تاريخ الجبر
• شرح المواضيع الأساسية في الجبر
• I.N. Herstein: Topics in Algebra. ISBN 0-471-02371-X
• R.B.J.T. Allenby: Rings, Fields and Groups. ISBN 0-340-54440-6

وصلات خارجية

• مراجعات سباركنوت في الجبر I و II
• ExampleProblems.com : أمثلة مسائل وحلولها حول أساسيات الجبر وجبر خطي.
• Purplemath.com "مصادرك لدراسة الجبر"
• (عربية) Forum non officiel :C.E.M Les frères Mezaache منتدى متوسطة الإخوة مزعاش تاجنانت ميلة الجزائر

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

af:Algebra an:Alchebra ang:Stæfrīmtācning arz:جبر ast:Álxebra az:Cəbr ba:Алгебра bat-smg:Algebra be:Алгебра be-x-old:Альгебра bg:Алгебра bn:বীজগণিত bs:Algebra ca:Àlgebra co:Algebra cs:Algebra cy:Algebra da:Algebra de:Algebra el:Άλγεβρα eml:Algebra Algebra]] eo:Algebro es:Álgebra et:Algebra eu:Aljebra fa:جبر fi:Algebra fiu-vro:Algõbra fr:Algèbre fy:Algebra gan:代數 gd:Ailseabra gl:Álxebra he:אלגברה hi:बीजगणित hif:Algebra hr:Algebra ht:Aljèb hu:Algebra ia:Algebra id:Aljabar io:Algebro is:Algebra it:Algebra ja:代数学 jbo:alxebra jv:Aljabar ka:ალგებრა kk:Алгебра kn:ಬೀಜಗಣಿತ ko:대수학 la:Algebra lij:Algebra lo:ພຶດຊະຄະນິດ lt:Algebra lv:Algebra mg:Aljebra mk:Алгебра ml:ബീജഗണിതം mr:बीजगणित ms:Algebra mt:Alġebra mwl:Álgebra my:အက္ခရာသင်္ချာ new:बीजगणित nl:Algebra nn:Algebra no:Algebra nov:Algebra oc:Algèbra pl:Algebra pms:Àlgebra pnb:الجبرا pt:Álgebra qu:Qillqanancha kamay ro:Algebră ru:Алгебра rue:Алґебра sah:Алгебра scn:Àlgibbra sco:Algebra sh:Algebra si:වීජ ගණිතය simple:Algebra sk:Algebra sl:Algebra so:Aljebra sq:Algjebra sr:Алгебра sv:Algebra sw:Aljebra ta:இயற்கணிதம் te:బీజగణితం tg:Алгебра th:พีชคณิต tk:Algebra tl:Alhebra tr:Cebir tt:Алгебра uk:Алгебра ur:الجبرا uz:Algebra vec:Àlgebra vi:Đại số vls:Algebra war:Alhebra yi:אלגעברע yo:Áljẹ́brà zh:代数 zh-classical:代數學 zh-min-nan:Tāi-sò͘ zh-yue:代數學