زمرة (رياضيات)

مفهوم رياضي
المسمى العربي	زمرة أو مجموعة
المسمى اللاتيني	Group
الرمز العربي	غير معرف
الرمز اللاتيني	$G(S,*)$
رياضيون	إيفاريست جالوا
نظريات ومسلمات	نظرية الزمر
كتب ومراجع

في الرياضيات، الزمرة group هي مجموعة مزودة بعملية ثنائية وتحقق مجموعة من الشروط أو البدبهيات التي ستذكر لاحقا. مجموعة الأعداد الصحيحة تشكل زمرة بالنسبة لعمية الجمع وتعتبر مثالا للزمر. تدرس الزمر في فرع من الرياضيات يدعى نظرية الزمر.

نظرية الزمر نشأت على يد إيفاريست جالوا في عام 1830، وهي تهتم أساسا بمشكلة إيجاد متى يكون كثير حدود أو معادلة جبرية قابلا للحل soluble أي له حلولا أو جذور. قبل هذه النظرية كانت الزمر تدرس أساسا ضمن إطار دراسة طرق الترتيب Permutation.

تعريف

الزمرة Group أو المجموعة الوظيفية في الرياضيات هي عبارة عن مجموعة $G$ مزودة بعملية ثنائية يرمز لها بـ $\bullet$ ⁽¹⁾ بحيث يربط كل ثنائية مرتبة $(a,b)$ من عناصر $G$ عنصر $(a\bullet b)$ من $G$ بحيث يحقق البديهيات Axioms التالية:

1. الإغلاق: $\mathrm{\forall }a,b\in G:a\bullet b\in G$
2. التجميع: $$\begin{gathered} a\bullet (b\bullet c)=(a\bullet b)\bullet c \\ \mathrm{\forall }a,b,c\in G \end{gathered}$$
3. العنصر الحيادي (identity): $$\begin{gathered} \mathrm{\exists } \\ e\in G:a\bullet e=e\bullet a=a \\ \mathrm{\forall }a\in G \end{gathered}$$
4. العنصر النظير أو المتمم (inverse): $$\begin{gathered} \mathrm{\forall }a\in G,\mathrm{\exists } \\ \acute{a}\in G:a\bullet \acute{a}=\acute{a}\bullet a=e \end{gathered}$$

ندعو الزمرة بالأبيلية (abelian group) نسبة للرياضي أبيل (Abel)، إن حققت الشرط الإضافي التالي:

5. التبديل: $$\begin{gathered} a\bullet b=b\bullet a \\ \mathrm{\forall }a,b\in G \end{gathered}$$

في حال كانت المجموعة منتهية (عدد منتهٍ من العناصر) نقول إنّ الزمرة منتهية (finite group) ويكون ترتيب الزمرة (order) مساوياً لعدد عناصر المجموعة.

تدرس هذه الكائنات الرياضية في نطاق نظرية نطلق عليها اسم نظرية الزمر group theory.

هامش

1 الرمز $\bullet$ يشير إلى عملية ثنائية رياضية كالجمع والضرب...الخ

انظر أيضا

1. متتالية منضبطة

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

af:Groep (wiskunde) az:Qrup anlayışı bg:Група (алгебра) ca:Grup (matemàtiques) cs:Grupa cy:Grŵp (mathemateg) da:Gruppe (matematik) el:Ομάδα Group (mathematics)]] eo:Grupo (algebro) es:Grupo (matemática) et:Rühm (matemaatika) fa:گروه (ریاضی) fi:Ryhmä (algebra) fr:Groupe (mathématiques) he:חבורה (מבנה אלגברי) hr:Grupa (matematika) hu:Csoport ia:Gruppo (mathematica) id:Grup (matematika) is:Grúpa it:Gruppo (matematica) ja:群 (数学) ka:ჯგუფი (მათემატიკა) ko:군 (수학) la:Caterva (mathematica) lt:Grupė (algebra) lv:Grupa (matemātika) ml:ഗ്രൂപ്പ് (ഗണിതശാസ്ത്രം) ms:Kumpulan (matematik) nl:Groep (wiskunde) no:Gruppe (matematikk) nov:Grupe (matematike) oc:Grop (matematicas) pl:Grupa (matematyka) pms:Strop pt:Grupo (matemática) ro:Grup (matematică) ru:Группа (математика) scn:Gruppu (matimatica) sh:Grupa (matematika) simple:Group (mathematics) sk:Grupa (matematika) sl:Grupa sr:Група (математика) sv:Grupp (matematik) ta:குலம் (கணிதம்) th:กรุป (คณิตศาสตร์) tr:Öbek (matematik) uk:Група (математика) ur:گروہ (ریاضی) vi:Nhóm (đại số) vls:Groep (algebra) yi:גרופע (מאטעמאטיק) zh:群 zh-classical:群 (代數)