دالة رياضية

ملف:Graph of example function.svg

مخطط التابع $\begin{array}{rl}& f:[-1,1.5]\to [-1,1.5]\\ & x\mapsto \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{array}$

الدالة الرياضية أو التابع الرياضي كائن رياضي يمثل علاقة تربط بكل عنصر من مجموعة تدعى المنطلق $X$ عنصرا واحدا و واحدا فقط من مجموعة تدعى المستقر $Y$. أو، باستعمال الصياغة الرياضية الرسمية $f:X\to Y,x\mapsto f(x)$

ينتج من هذا التعريف عد أمور أساسية :

• لكل تابع مجموعة منطلق (أو نطاق) غالباً ما تدعى $X$.
• لكل تابع مجموعة مستقر (أو نطاق مرافق) غالباً ما تدعى $Y$.
• لا يمكن لعنصر من مجموعة المنطلق $X$ ان يرتبط إلا بعنصر وحيد من مجموعة المستقر $Y$.
• يمكن لعنصر من مجموعة المستقر $Y$ أن يرتبط بعنصر وحيد أو أكثر من مجموعة المنطلق $X$.

فاذا كان المنطلق (النطاق) هو مجموعة القيم التي يمكن أن يأخذها متغير مستقل $x$، فإن المستقر أو (النطاق المرافق) هو مجموعة القيم الممكنة لقيم دالة $f(x)$.

المدى Range : هو مجموعة القيم الفعلية للدالة f.

و يجب عدم الخلط بين المدى والمستقر حيث يمكن للدالة ألا تغطي جميع قيم المستقر فيكون المدى مجرد مجموعة جزئية من المستقر.

غالبا ما نخصص لفظ دالة للتطبيقات التي يكون مستقرها $\mathbb{ℝ}$ (الدوال العددية), أو $\mathbb{ℂ}$ (الدوال العقدية). في حين نسمي تطبيقا كل ما يحقق التعريف أعلاه.

أمثلة

لنأخذ الدالة : $f:X\to Y,x\mapsto x^2$

أي أن $f(x)=x^2$

بأخد $x=2$ نجد $f(2)=4$، هنا بالتعريف أعلاه اختصرنا الدالة التربيعية بالحرف $f$. عندئذ نجد أن العنصر$x=2$ من المنطلق يرتبط بالعنصر $y=4$ من المستقر فقط. العنصر $x=-2$ من المنطلق (أو المجال)$X$ يرتبط بالعنصر $y=4$ فقط من المستقر، فإذاً من الممكن للعنصر $y=4$ من المستقر أن يرتبط بعنصرين $x=2$ و$x=-2$ من المنطلق في حين أن أي عنصر من المنطلق يرتبط بعنصر واحد فقط من المستقر. هذا أمر جوهري في تحديد كون أي علاقة بين مجموعتين تشكل دالة رياضية.

بالمقابل $\mathrm{R}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{t}(x)=\pm \sqrt{x}$ ليست دالة، لأنها تربط أي مدخل $x$ بمخرجين. مثل، الجذر التربيعي للعدد $9$ قد يحتمل قيمتين هما $3$ و $-3$. لهذا، إذا اردنا أن نجعل الجذر التربيعي دالةً فيجب أن نحدد أي جذر نختار، السالب ام الموجب. التعريف

$\mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{t}(x)=\sqrt{x},\mathrm{\forall }x\ge 0$،

يعطي لأي مدخل غير سالب مخرج واحد فقط هو الجذر التربيعي الموجب.

مجال الدالة

إن ربط أي عنصر من عناصر مجموعة ما مثل $X$ (تسمى النطاق أو المنطلق)، بعنصر واحد فقط من عناصر مجموعة أخرى مثل $Y$ (تسمى النطاق المرافق أو المستقر)، هو اقتران من المجموعة $X$ إلى المجموعة $Y$، والمقصود رياضيا بالاقتران هو (دالة أو تابع أو تطبيق)، وللاقتران أو الدالة ثلاث مكونات: نطاق(منطلق)، ونطاق مرافق (مستقر)، وقاعدة تربط أي عنصر من عناصر النطاق (منطلق) بعنصر واحد فقط من عناصر النطاق المرافق (المستقر). والمجموعة الجزئية من النطاق المرافق التي تتكون من جميع صور عناصر النطاق تسمى مجال الدالة أو (مدى الاقتران). أي أن مجال الدالة أو مدى الاقتران هو مجموعة جزئية من النطاق المرافق للاقتران. فمثلا : $y=f(x)=6x-9$.

وهناك أنواع متباينة من الدوال، كالدالة المركبة (اقتران مركب)، والدالة التحليلية (اقتران تحليلي)، والدالة الثابتة (اقتران ثابت)، والدالة المستمرة (اقتران متصل)، والدالة المتناقضة (اقتران متناقض)، والدالة الضمنية (اقتران ضمني)، والدالة الأسية (اقتران أسي)، والدالة الزوجية (اقتران زوجي)، والدالة الصريحة (اقتران صريح)، والدالة المتطابقة (اقتران محايد)، والدالة الفردية (اقتران فردي)، والدالة العكسية (اقتران عكسي)، والدالة الشاملة (اقتران شامل).

تاريخ

تمت صياغة المصطلح "function" باللغة الإنكليزية من قبل العالم غوتفريد لايبنتز في عام 1649 لوصف كميات تتعلق بالمنحنيات كالميل عند نقطة معينة من المنحني.

تم استخدام المصطلح بعدها من قبل عالم الرياضيات ليونهارد أويلر في منتصف القرن الثامن عشر لوصف التعابير والصيغ الرياضية التي تتضمن عدة وسائط رياضية.

اقرأ أيضا

• تابع كوب-دوغلاس

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

af:Funksie am:አስረካቢ an:Función matematica az:Funksiya (riyaziyyat) bar:Funktion be:Функцыя be-x-old:Функцыя (матэматыка) bg:Функция bn:ফাংশন (গণিত) bs:Funkcija (matematika) ca:Funció matemàtica cs:Funkce (matematika) da:Funktion (matematik) de:Funktion (Mathematik) el:Συνάρτηση Function (mathematics)]] eo:Funkcio (matematiko) es:Función matemática et:Funktsioon (matemaatika) eu:Funtzio (matematika) fa:تابع fi:Funktio fr:Application (mathématiques) ga:Feidhm (matamaitic) gan:函數 gl:Función he:פונקציה hi:फलन hr:Funkcija (matematika) hu:Függvény (matematika) id:Fungsi (matematika) io:Funciono is:Fall (stærðfræði) it:Funzione (matematica) ja:関数 (数学) jbo:fancu ka:ფუნქცია (მათემატიკა) kk:Функция аргументі ko:함수 la:Functio lmo:Funziú (matemàtega) lo:ຕຳລາ (ຄະນິດສາດ) lt:Funkcija (matematika) lv:Funkcija mk:Функција (математика) ml:ഫലനം mn:Функц (математик) ms:Fungsi mt:Funzjonijiet (matematika) nap:Funzione (matematica) nl:Functie (wiskunde) nn:Matematisk funksjon no:Funksjon (matematikk) oc:Aplicacion (matematicas) pl:Funkcja pms:Fonsion pt:Função qu:Kinraysuyu ro:Funcție ru:Функция (математика) scn:Funzioni sh:Funkcija simple:Function (mathematics) sk:Zobrazenie (matematika) sl:Funkcija sr:Функција (математика) su:Fungsi (matematika) sv:Funktion ta:சார்பு th:ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์) tr:Fonksiyon ug:فۇنكسىيە uk:Функція (математика) ur:دالہ (ریاضیات) vi:Hàm số war:Funcion matematica xal:Даалһвр yi:פונקציע zh:函数 zh-classical:映射