تفاضل وتكامل

مواضيع في الحسبان

المبرهنة الأساسية نهايات الدوال استمرارية مبرهنة القيمة المتوسطة حسبان تفاضلي  اشتقاق تغير المتغيرات تفاضل ضمني مبرهنة تايلور معدلات مرتبطة متطابِقات قواعد: قاعدة القوة، قاعدة الضرب، قاعدة ناتج القسمة، قاعدة التسلسل حسبان تكاملي  تكامل قائمة التكاملات تكاملات معتلة التكامل بواسطة: التجزيء، الأقراص، الطبقات الأسطوانية، التعويض، التعويضات المثلثية، الكسور الجزئية، تغيير الرتب حسبان المتجهات  تدرج تباعد التواء لابلاسي مبرهنة التدرج مبرهنة غرين مبرهنة ستوكس مبرهنة التباعد حسبان متعدد المتغيرات  حسبان المصفوفات اشتقاق جزئي تكامل متعدد تكامل خطي تكامل سطحي تكامل حجمي جاكوبي

التفاضل والتكامل (باللاتينية: Calculus) فرع من فروع الرياضيات يدرس النهايات والاشتقاق والتكامل والمتسلسلات الانهائية. وهو علم يستخدم لدراسة التغير في الدوال وتحليلها.

ويدخل علم التفاضل والتكامل في العديد من التطبيقات في الهندسة والعلوم المختلفة حيث كثيرا ما يحتاج لدراسة سلوك الدالة والتغير فيها وحل المشاكل التي يعجز علم الجبر عن حلها بسهولة.وعادة مايدرس علم التفاضل والتكامل بعد دراسة أساسيات الجبر والهندسة وحساب المثلثات. ومن الموضوعات الرئيسية في هذا العلم هي النهايات والكميات الموحلة في الصغر.

و ينقسم إلى هذا العلم إلى فرعين هما التفاضل والتكامل ويربط بينهما ما يعرف بالنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل. وفى بعض الأحيان قد يستخدم الاسم تفاضل وتكامل في الإشارة إلى أي نظام يستخدم في الحسبان ويستخدم فية الرموز في التعامل مع المصطلحات والمتغيرات المختلفة مثل تفاضل وتكامل لامبدا والتفاضل والتكامل الاقتراحى والتفاضل والتكامل العلائقى والتفاضل والتكامل المؤكد.

النهايات

طالع أيضاً: نهاية رياضية

تهتم بدراسة اتصال الدالة وقيمتها عندما يقترب تابعها من من قيمة معينة.

بفرض أن الدالة $f(x)$ هي دالة حقيقية وأن $c$ عدد حقيقي أيضا:

عندئذ يمكن القول:

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$

أي أن الدالة $f(x)$ تكون قريبة جدا حسبما نريد من $L$ عندما تقترب $x$ من العدد $c$ ونعبر عن ذلك لغة (أن نهاية $f(x)$, عندما $x$ تؤول إلى $c$, هي $L$).

التفاضل والاشتقاق

طالع أيضاً: تفاضل

يتم اشتقاق التفاضل للدالة $f(x)$ من التعريف الرئيسي للنهاية بالعلاقة:

$f^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

التكامل

في علم الرياضيات ينقسم التكامل إلى جزئين: التكامل المحدود والتكامل الغير محدود. يتعلق التكامل المحدود بحساب الاطوال, المساحات, المنحنيات, مراكز الثقل وما إلى ذلك من الدوال التي لها تطبيقات في شتى العلوم. من جهة أخرى يركز التكامل الغير محدود على إيجاد المعكوس الرياضي للتفاضل ولهذا السبب يسمى أيضا بالاشتقاق العكسي.

الاشتقاق العكسي

طالع أيضاً: اشتقاق عكسي

يعطى التكامل الغير محدود لتابع $f(x)$ رياضي بالعلاقة:

$\int f(x)dx=F(x)+C$

حيث

$F^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}F(x)=f(x)$

التكامل المحدود

طالع أيضاً: تكامل محدود

يعبر عنه بالشكل الرياضي:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

تطبيقات

لعلم التفاضل والتكامل تطبيقات لا حصر لها في علوم الفيزياء الكلاسيكية والحديثة, الكيمياء, الهندسة, الاقتصاد, الحاسوب وحتى في الطب وبعض العلوم السياسية والادبية. هنا بعض الامثلة:

• حساب اطوال المنحنيات, المساحات, والحجوم.
• حساب مركز الثقل, عزم القصور الذاتي, كمية التحرك, العجلة, السرعة, الإزاحة, الشغل, الطاقة.
• حساب التوزيعات والاحتمالات المنتظمة كاحتمالية فيرمي في أشباه الموصلات, انتشار جراثيم في وسط معين تحت ظروف بيئية معينة.
• حل المعادلات التفاضلية وتطبيقاتها في الأنظمة الخطية مثل البندول, دوائر الرنين الكهربائية, وأنظمة التحكم الكهروميكانيكية.
• اشتقاق الكثير من المعادلات الفيزيائية الحديثة والتي يكون من الصعب اجرائها تجريبيا.
• حساب الثوابت الرياضية إلى درجات عالية من الدقة مثل قيمة ثابت الدائرة $\pi =3.141592653....$، الثابت الطبيعي $e=2.7182818....$ وكذلك الدوال الرياضية المعقدة وإمكانية برمجة هذه العمليات بواسطة الحاسوب.

تاريخ

يعتقد البعض ان علم التفاضل قد سبق التكامل كون التكامل عملية عكسية للتفاضل وهذا غير صحيح. فقد أظهرت الأدلة التاريخية استخدام التكامل بطرق غير مباشرة في حساب المساحات والحجوم كما كان في عهد المصريين القدماء في طريقة حساب حجم الهرم الناقص. كما تبعهم اليونانيون في استخدام طريقة الاستنزاف لحساب المساحات والحجوم ثم ازدهرت هذه الطريقة في عهد أرشيميدس الذي أدخل فكرة الخبرة المكتسبة والتي تمثل جزءَ أساسيا في علم التكامل. ثم انتقلت طريقة الاستنزاف إلى الصين حيث عملوا جاهدين على إيجاد مساحة الدائرة وحجم الكرة.

وفي العصر الإسلامي استطاع ابن الهيثم استخدام طريقة تكاملية لاستنباط الصيغة العامة لمجموع متوالية حسابية من الدرجة الرابعة. ثم ابتدع الصينيون معادلات تتعامل مع التكامل, وفي الهند بدأ الاشتقاق بالظهور على يد هندي رياضي وصف التغيرات المتناهية في الصغر كما توصل اخرون لمتسلسلات شيهة بمتسلسلة تايلور.

مع ظهور عصر النهضة بدأ الغرب بتعلم وترجمة الكتب القديمة كاليونانية, الحديثة كالعربية وتطوير علوم الرياضيات, الفيزياء, الكيمياء, وبعض العلوم الأخرى وتطور علم التفاضل والتكامل بشكل خاص على يد مؤسسه إسحاق نيوتن.

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

am:ካልኩለስ an:Calculo bn:ক্যালকুলাস bs:Kalkulus ca:Càlcul infinitesimal da:Infinitesimalregning de:Kalkül el:Απειροστικός λογισμός Calculus]] eo:Kalkulo es:Cálculo fa:حساب دیفرانسیل و انتگرال fi:Differentiaali- ja integraalilaskenta fr:Calcul infinitésimal ga:Calcalas gan:微積分 gl:Cálculo infinitesimal he:חשבון אינפיניטסימלי hi:कलन hr:Infinitezimalni račun id:Kalkulus io:Kalkulo is:Örsmæðareikningur it:Calcolo infinitesimale ja:微分積分学 jv:Kalkulus ko:미적분학 la:Calculus lt:Integralinis ir diferencialinis skaičiavimas ml:കലനം mr:कलन ms:Kalkulus pl:Rachunek różniczkowy i całkowy pt:Cálculo qu:Yupaylliy sco:Calculus si:කලනය simple:Calculus sk:Diferenciálny a integrálny počet sl:Infinitezimalni račun sr:Infinitezimalni račun ss:Calculus sv:Infinitesimalkalkyl ta:நுண்கணிதம் th:แคลคูลัส tr:Kalkülüs ur:حسابان war:Kalkulo zh:微积分学 zh-min-nan:Bî-chek-hun zh-yue:微積分