مؤثر لابلاس

مؤثر لابلاس أو لابلاسيان (بالإنكليزية: Laplace operator) ورمزه $\nabla^{2}$ أو $Δ$ إحدى المؤثرات التفاضلية وهو من المؤثرات المهمة في مجال حسبان المتجهات وكذلك حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات وسمى المؤثر بهذا الإسم عرفانا للعالم الرياضياتي الفرنسي بيير لابلاس

التعريف

وفقا لتعريف اللابلاسيان فإنه مكافئ تباعد ( $\nabla .$ ) تدرج دالة ما ( $\nabla A$ ). ويعبر عن هذا التعريف بالصياغة الرياضية كالتالي:

Δ A = \nabla^{2} A = \nabla \cdot \nabla A

واللابلاسيان مؤثر تفاضلي يعمل على قيمة سلمية وينتج عنه كذلك قيمة سلمية.

يعطى اللابلاسيان في إحدايات من بعدين (x,y)حسب العلاقة:

Δ f = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}

حيث أن x and y المتغيران القياسيين في الإحداثيات الديكارتية لـمستوي xy.

\begin{aligned} Δ f & = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial f}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial θ^{2}} \\ = \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{\partial^{2} f}{\partial r^{2}} + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial θ^{2}} . \end{aligned}

Δ f = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} .

Δ f = \frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ} (ρ \frac{\partial f}{\partial ρ}) + \frac{1}{ρ^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial θ^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} .

Δ f = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial f}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2} \sin φ} \frac{\partial}{\partial φ} (\sin φ \frac{\partial f}{\partial φ}) + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} φ} \frac{\partial^{2} f}{\partial θ^{2}} .

(هنا على غير المألوف θ تعبر عن زاوية السمت فيما تعبر φ عن زاوية سمت الرأس).

في الشكل العام من الإحداثيات الإنحنائية ( $ξ^{1}, ξ^{2}, ξ^{3}$ ):

$\nabla^{2} = \nabla ξ^{m} \cdot \nabla ξ^{n} \frac{\partial^{2}}{\partial ξ^{m} \partial ξ^{n}} + \nabla^{2} ξ^{m} \frac{\partial}{\partial ξ^{m}},$