تحليل حقيقي

التحليل الحقيقي أحد فروع الرياضيات التي تتعامل مع مجموعة الأعداد الحقيقية والدوال المعرفة عليها. يمكن النظر إلى التحليل الحقيقي على أنه نسخة مدققة من علم الحسبان (التفاضل والتكامل) يدرس مصطلحات مثل المتتاليات ونهاياتها، الاستمرار في الدوال، الاشتقاق الرياضي، التكاملات الرياضية وأخيرا متتاليات الدوال. بالتالي يقدم التحليل الحقيقي نظرية متقنة حول فكرة الدوال العددية 'numerical function'، كما يتضمن نظريات حديثة حول الدوال المعممة generalized function.

الدالة الحقيقية :(هي الدالة التي فيها كل مجال والمجال المقابل مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية).

عادة ما يبدأ تقديم التحليل الحقيقي في النصوص الرياضية المتقدمة ببراهين بسيطة في نظرية المجموعات المبسطة naive set theory أو elementary set theory، ثم تعريف واضح لمصطلح الدالة الرياضية، ثم مقدمة للأعداد الطبيعية وتقنيات البرهان الهامة للاستقراء الرياضي mathematical induction.

من ثم تعمد النصوص المرجعية إلى تقديم الأعداد الحقيقية بشكل بدهي (أكسيوماتي) أو يتم تشكيلها من متتاليات كاوشي Cauchy sequence وحد ديديكايند Dedekind cut للأعداد المنطقة rational number. النتائج البدئية تشتق أولا، أهمها خواص القيمة المطلقة absolute value، مثل متراجحة المثلث triangle inequality ومتراجحة برنولي Bernoulli's inequality.

مصطلح التقارب convergence يعتبر مفهوما مركزيا في التحليل الحقيقي، فهو يقدم من خلال نهايات المتتاليات. يمكن اشتقاق عدة قوانين رياضية تحكم عملية الانتهاء، وبالتالي يمكن حساب عدة نهايات. كما يدرس هنا أيضا المتسلسلات اللامنتهية Infinite series وهي عبارة عن نوع خاص م المتتاليات. من ثم تقدم متسلسلات القوى Power series القدرة على تعريف دوال مركزية متعددة مثل الدالة الأسية exponential function والدوال المثلثية trigonometric function. من ثم يتم تقديم أنماط مهمة من المجموعات الجزئية مثل المجموعات المفتوحة open set والمجموعات المغلقة closed set، المجموعات المضغوطة compact sets أو compact space مع خواصها المختلفة مثل مبرهنة بولزانو-فايرشتراس Bolzano-Weierstrass theorem ومبرهنة هايني-بوريل Heine-Borel theorem.