مبرهنة سيفا

مبرهنة سيفا، الحالة الأولى: تلتقي المستقيمات الثلاثة عند نقطة داخل المثلث.

مبرهنة سيفا، الحالة الثانية: تلتقي المستقيمات الثلاثة عند نقطة خارج المثلث.

في الهندسة الإقليدية، تعد مبرهنة سيفا من أشهر المبرهنات الرياضية.

إذا كان ABC مثلث وكانت النقاط D,E,F تقع على الأضلاع BC,AC,AB على الترتيب، فإن المستقيمات AD,BE,CF تتقاطع في نقطة واحدة O إذا وفقط إذا كان:

\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1

قدم جيوفاني سيفا برهاناً لهذه المبرهنة في عام 1678.

جيوفاني سيفا رياضي إيطالي تخصص في الهندسة واشتهر بهذه المبرهنة، وإن كانت المبرهنة قد برهنت سابقاً من قبل العالم يوسف المؤتمن بن هود ملك سرقسطة في القرن الحادي عشر ميلادي.

الصيغة المثلثية للمبرهنة

هناك صيغة مثلثية مشابهة لمبرهنة سيفا، إذا كان ABC مثلث وكانت النقاط D,E,F تقع على الأضلاع BC,AC,AB على الترتيب، فإن المستقيمات AD,BE,CF تتقاطع في نقطة واحدة O إذا وفقط إذا كان:

\frac{\sin ∠ A C F}{\sin ∠ F C B} \times \frac{\sin ∠ B A D}{\sin ∠ D A C} \times \frac{\sin ∠ C B E}{\sin ∠ E B A} = 1

.

تطبيقات

نذكر هنا أهم النتائج المباشرة من هذه المبرهنة:

المتوسطات

ملف:Triangle.Centroid.svg

المتوسطات ومركز الثقل.

تلتقي متوسطات المثلث الثلاثة في نقطة واحدة تعرف بالنقطة الوسطى أو مركز ثقل المثلث.

البرهان:

في المثلث AD,BE,CF : ABC متوسطات تنصف الأضلاع BC,CA,AB عند النقاط D,E,F على الترتيب.

المطلوب: لكي تتقاطع المتوسطات في نقطة واحدة لا بد أن يتحقق: $\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$

نلاحظ أن النقطة F منتصف $\frac{A F}{F B} = 1 \Leftarrow A F = F B \Leftarrow A B$

كذلك الأمر مع النقطتين D,E منتصف $\frac{B D}{D C} = 1, \frac{C E}{E A} = 1 \Leftarrow B C, C A$

ومن الواضح أن $1.1.1 = 1$ وبالتالي فإن متوسطات المثلث AD,BE,CF تلتقي في نقطة واحدة.

منصفات الزوايا

ملف:Triangle.Incircle.svg

تقاطع منصفات الزوايا في مركز الدائرة المحيطة بالمثلث

تلتقي منصفات الزوايا في نقطة واحدة، هذه النقطة مركز الدائرة الداخلية التي تمس أضلاع المثلث.

البرهان:

في المثلث AD,BE,CF : ABC منصفات للزوايا A,B,C على الترتيب.

المطلوب: لكي تتقاطع منصفات الزوايا في نقطة واحدة لا بد أن يتحقق: $\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$

باستخدام مبرهنة منصف الزاوية ينتج لدينا:

$\frac{A F}{F B} = \frac{A C}{B C}, \frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}, \frac{C E}{E A} = \frac{B C}{A B}$

$\Rightarrow \frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = \frac{A C}{B C} \cdot \frac{A B}{A C} \cdot \frac{B C}{A B} = 1$

ولهذا فإن منصفات الزوايا تلتقي في نقطة واحدة.

الارتفاعات

ملف:Triangle.Orthocenter.svg

نقطة تقاطع الارتفاعات في مثلث تسمى المركز القائم

تلتقي ارتفاعات المثلث في نقطة واحدة تعرف بملتقى الارتفاعات أو المركز القائم.

البرهان:

في المثلث AD,BE,CF : ABC ارتفاعات أقدامها D,E,F على الترتيب.

المطلوب: لكي تتقاطع ارتفاعات المثلث في نقطة واحدة لا بد أن يتحقق: $\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$

المثلثان CDO,AFO متشابهان (زاويتان قائمتان وزاويتان متقابلتان بالرأس)ومن التشابه ينتج:

$\frac{A F}{D C} = \frac{A O}{C O}$

أيضاً المثلثان CEO,BFO متشابهان وكذلك المثلثان AEO,BDO متشابهان ومن التشابهات ينتج:

$\frac{B D}{E A} = \frac{B O}{A O}, \frac{C E}{F B} = \frac{C O}{B O}$

$\Rightarrow \frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = \frac{A F}{D C} \cdot \frac{B D}{E A} \cdot \frac{C E}{F B} = \frac{A O}{C O} \cdot \frac{B O}{A O} \cdot \frac{C O}{B O} = 1$

وبهذا تلتقي ارتفاعات المثلث في نقطة واحدة.

البرهان

في البداية سنثبت أنه إذا كانت المستقيمات AD,BE,CF تتقاطع في نقطة واحدة فإن $\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$ .

لنبدأ مع الضلع $B C$ في المثلث نلاحظ أن:

المثلثان $B O C, B O D$ لهما نفس الارتفاع وليكن $h$ ، إذا:

$\frac{A r e a_{B O D}}{A r e a_{D O C}} = \frac{\frac{1}{2} h . B D}{\frac{1}{2} h . D C}$

$\Rightarrow \frac{A r e a_{B O D}}{A r e a_{D O C}} = \frac{B D}{D C}$

أيضاً المثلثان $B A C, B A D$ لهما ارتفاع واحد لذا:

$\frac{A r e a_{B A D}}{A r e a_{D A C}} = \frac{B D}{D C}$

وصلنا إلى أن $\frac{B D}{D C} = \frac{A r e a_{B A D}}{A r e a_{D A C}} = \frac{A r e a_{B O D}}{A r e a_{D O C}}$ ومن خصائص التناسب نصل إلى:

$\frac{B D}{D C} = \frac{A r e a_{B A D} - A r e a_{B O D}}{A r e a_{D A C} - A r e a_{D O C}} = \frac{A r e a_{A O B}}{A r e a_{A O C}}$

بطريقة مشابهة مع الضلعين $A B, A C$ نصل إلى:

$\frac{A F}{F B} = \frac{A r e a_{A O C}}{A r e a_{B O C}}, \frac{C E}{E A} = \frac{A r e a_{B O C}}{A r e a_{A O B}}$

$\Rightarrow \frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = \frac{A r e a_{A O C}}{A r e a_{B O C}} . \frac{A r e a_{A O B}}{A r e a_{A O C}} . \frac{A r e a_{B O C}}{A r e a_{A O B}} = 1$

وهو المطلوب.

بقي الآن أن ثبت الإتجاه المعاكس أي إذا كانت $\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$ فإن المستقيمات AD,BE,CF تتقاطع في نقطة واحدة.

لتكن O نقطة تقاطع المستقيمين BE,CF سنثبت أن المستقيم AD يمبر بالنقطة O، نرسم المستقيم AO الذي يقطع BC في النقطة 'D، إذا أثبتنا أن D = 'D فإن AD سيكون نفسه 'AD الذي يمر عبر النقطة O وبالتالي يتحقق المطلوب.

المستقيمات AD',BE,CF تتقاطع في O بتطبيق مبرهنة سيفا (الاتجاه الأول):

$\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D^{'}}{D^{'} C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$

ومن المعطيات:

$\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$

$\Rightarrow \frac{B D^{'}}{D^{'} C} = \frac{B D}{D C}$

$\Rightarrow \frac{B D^{'}}{D^{'} C} + 1 = \frac{B D}{D C} + 1 \Rightarrow \frac{B D^{'}}{D^{'} C} + \frac{D^{'} C}{D^{'} C} = \frac{B D}{D C} + \frac{D C}{D C}$

$\Rightarrow \frac{B D^{'} + D^{'} C}{D^{'} C} = \frac{B D + D C}{D C} \Rightarrow \frac{B C}{D^{'} C} = \frac{B C}{D C}$

$\Rightarrow D^{'} C = D C \Rightarrow D^{'} = D$

وبذلك يتحقق المطلوب.

وصلات خارجية

مبرهنة سيفا في شبكة رمز للرياضيات

مراجع

Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1995), "Ceva, Menelaus and the Area Principle", Mathematics Magazine 68 (4): 254–268, [١] ‎.
J. B. Hogendijk, "Al-Mutaman ibn Hűd, 11the century kin of Saragossa and brilliant mathematician," Historia Mathematica 22 (1995) 1-18.
Landy, Steven. A Generalization of Ceva's Theorem to Higher Dimensions. The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 10 (Dec., 1988), pp. 936-939
Masal'tsev, L. A. (1994) "Incidence theorems in spaces of constant curvature." Journal of Mathematical Sciences, Vol. 72, No. 4
Wernicke, Paul. The Theorems of Ceva and Menelaus and Their Extension. The American Mathematical Monthly, Vol. 34, No. 9 (Nov., 1927), pp. 468-472

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

az:Çeva teoremi ca:Teorema de Ceva de:Satz von Ceva Ceva's theorem]] es:Teorema de Ceva fa:قضیه سوا fi:Cevan lause fr:Théorème de Ceva he:משפט צ'בה hu:Ceva-tétel it:Teorema di Ceva ja:チェバの定理 km:ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ា ko:체바의 정리 mn:Чевийн теорем nl:Stelling van Ceva no:Cevas setning pl:Twierdzenie Cevy pt:Teorema de Ceva ro:Teorema lui Ceva ru:Теорема Чевы sl:Cevov izrek sw:Uhakiki wa Ceva th:ทฤษฎีบทของเซวา tr:Ceva teoremi uk:Теорема Чеви vi:Định lí Ceva zh:塞瓦定理 zh-classical:塞瓦定理

مجهول

بحث

مبرهنة سيفا

أسماء النطاقات

المزيد

إجراءات الصفحة

محتويات

الصيغة المثلثية للمبرهنة

تطبيقات

المتوسطات

منصفات الزوايا

الارتفاعات

البرهان

اقرأ أيضاً

وصلات خارجية

مراجع

تصفح

الموسوعة

تصفح

المشاركة والمساعدة

ادوات ويكي

ادوات ويكي

مجهول

بحث

مبرهنة سيفا

الصيغة المثلثية للمبرهنة

تطبيقات

المتوسطات

منصفات الزوايا

الارتفاعات

البرهان

اقرأ أيضاً

وصلات خارجية

مراجع

تصفح

ادوات ويكي

أدوات الصفحات

تصنيفات