مثلث

مثلث
ملف:Triangle illustration.svg مثلث
أضلاع ورؤوس	3
رمز شليفلي	{3} (للمثلث متساوي الأضلاع)
المساحة	طرق عدة للحساب (راجع قسم المساحة)
زاوية داخلية (درجة)	60° (للمثلث متساوي الأضلاع)

المثلث هو أحد الأشكال الأساسية في الهندسة، وهو شكل ثنائي الأبعاد مكون من ثلاثة رؤوس تصل بينها ثلاثة أضلاع، وتلك الأضلاع هي قطع مستقيمة.

أنواع المثلثات

من الممكن تصنيف المثلثات تبعا لأطوال أضلاعها كما يلي:

• مثلث متساوي الأضلاع: هو مثلث جميع أضلاعه متساوية، وتكون جميع زوايا المثلث متساوي الأضلاع متساوية أيضا، وقيمة كل منها 60 درجة.
• مثلث متساوي الضلعين: ويسمى أيضا متساوي الساقين، هو مثلث فيه ضلعان متساويان، الزاويتان المقابلتان لهذين الضلعين تكونان متساويتان أيضا.
• مثلث مختلف الأضلاع: هو مثلث أطوال أضلاعه مختلفة، زوايا هذا المثلث تكون مختلفة القيم أيضا.

مثلث متساوي الاضلاع	مثلث متساوي الساقين	مثلث مختلف الاضلاع
متساوي الاضلاع	متساوي الساقين	مختلف الاضلاع

كما يمكن تصنيف المثلثات تبعا لقياس أكبر زاوية في المثلث:

• مثلث قائم: له زاوية قياسها 90 درجة (زاوية قائمة)، يدعى الضلع المقابل للزاوية القائمة بالوتر، وهو أطول أضلاع هذا المثلث.
• مثلث منفرج الزاوية: له زاوية قياسها أكبر من 90 درجة وأصغر من 180 درجة(زاوية منفرجة)
• مثلث حاد الزوايا: كل زواياه قياسها أصغر من 90 درجة (زاوية حادة).

مثلث قائم	مثلث منفرج	مثلث حاد
قائم	منفرج	حاد

حقائق عن المثلثات

تشابه مثلثين

يقال عن مثلثين أنهما متشابهين إذا كانت الزوايا المتقابلة من كل منهما متساوية، أي عندما ينتج أحدهما عن الآخر بتكبيره أو تصغيره. وتكون أطوال أضلاع المثلثين المتشابهين متناسبة، أي أنه إذا كان طول أقصر أضلاع المثلث الأول هو ضعفا طول أقصر أضلاع المثلث الثاني، فإن طول كل من الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الأول هو ضعفا طولي لضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الثاني أيضا، وبالتالي فان النسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الأول مساوية للنسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الثاني. وهناك عدة حالات للتشابه منها زاوتين ويرمز للتشابه بالرمز (~)

حالات التشابه

1. يتشابه مثلثان إذا تساوت زاويتان من المثلث الأول مع زاويتين في المثلث الثاني .
2. يتشابه مثلثان إذا تناسبت أطوال الأضلاع المتناظرة فيهما .
3. يتشابه مثلثان إذا تساوى قياس زاوية من مثلث قياس زاوية من مثلث آخر و تناسبت أطوال الأضلاع التي تحتويهما هاتين الزاويتين فإن المثلثين يتشابهان .

نظرية

-النسبة بين مساحتي مثلثين متشابهين تساوي مربع النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين فيهما .

-النسبة بين محيطي مثلثين متشابهين تساوي النسبه بين طولي اي ضلعين متناظرين فيهما .

نظرية فيثاغورس

واحدة من النظريات الأساسية في المثلثات هي مبرهنة فيثاغورس والتي تنص على أنه في المثلث القائم، مربع طول الوتر (c) يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين (a, b)، أي:

$c^2=a^2+b^2$

مما يعني أن معرفة طولي ضلعين من المثلث القائم، كافٍ لمعرفة طول الضلع الثالث:

من الممكن تعميم نظرية فيثاغورث لتشمل أي مثلث عبر قانون جيب التمام:

مربع طول الضلع = مجموع مربعي الضلعين الآخرين مطروح منه ضعف حاصل ضروب طولي الضلعين الآخرين في جيب تمام "الزاية المحصورة بينهما"

$$\begin{gathered} c^2=a^2+b^2-2ab \\ Cos\theta \end{gathered}$$

و هو صحيح لكل المثلثات حتى لو لم تكن الزاوية ( $\theta$) قائمة.

حساب مساحة المثلث

أبسط طريقة لحساب مساحة المثلث وأكثرها شهرة هي المساحة = ½ القاعدة × الارتفاع

$Area=\frac{1}{2}bh$

حيث $b$ هي طول قاعدة المثلث و $h$ هو ارتفاع المثلث. قاعدة المثلث تمثل أي ضلع من أضلاع المثلث والارتفاع هو طول العمود النازل على هذه القاعدة من الرأس المقابل لها.

من الممكن البرهان على ذلك من خلال الشكل التالي:

حساب مساحة المثلث هندسيا

يحول المثلث أولاً لمتوازي أضلاع مساحته ضعف مساحة المثلث، ثم إلى مستطيل.

نقاط ومستقيمات ودوائر متصلة بالمثلث

• المتوسط العمودي لمثلث هو مستقيم يمر من أحد أضلاع المثلث في منتصفه ويكون عمودياً عليه وتتلاقى المتوسطات العمودية لمثلث في نقطة تسمى مركز الدائرة المحيطة بمثلث ويكون لهذه النقطة نفس البعد عن رؤوس المثلث الثلاثة ويكون تقاطع متوسطين عموديين فقط كافياً لمعرفة مركز هذه الدائرة.

ملف:Triangle.Circumcenter.svg

الدائرة المحيطة لمثلث تمر من رؤوس المثلث

• تقول نظرية طالس أنه إذا كان مركز الدائرة المحيطة بالمثلث على ضلع من أضلاع المثلث فإن الزاوية المقابلة لهذا الضلع تكون قائمة.

ملف:Triangle.Orthocenter.svg

نقطة تقاطع الارتفاعات في مثلث تسمى المركز القائم

• الارتفاع هو مستقيم يمر براّس من رؤوس المثلث ويكون عمودياً غلى الضلع المقابل للرأس. ويمثل الارتفاع البعد بين الرأس والضلغ المقابل له كما تتقاطع الارتفاعات في نقطة تسمى مركز قائم.

ملف:Triangle.Incircle.svg

تقاطع منصفات الزوايا في مركز الدائرة المحيطة بالمثلث

• منصف الزاوية هو مستقيم يمر من أحد رؤس المثلث ويقسم الزاوية إلى نصفين وتتقاطع المنصفات الثلاثة في مركز الدائرة المحيطة بالمثلث وهي الدائرة التي تمس أضلاع المثلث الثلاثة.

• المتوسط هو قطعة مستقيم تنطلق من أحد رؤس المثلث وتمر من منتصف الضلع المقابل لهذا الرأس وتتقاطع المتوسطات الثلاثة في نقطة تسمى مركز ثقل المثلث ويكون تقاطع متوسطين فقط كافياً لمعرفة مركز الثقل. كما يكون البعد بين رأس المثلث ومركز الثقل مساوياً لـ$\frac{2}{3}$ من طول المتوسط الصادر من ذلك الرأس.

ملف:Triangle.Centroid.svg

المتوسطات ومركز الثقل.

• منتصفات الأضلاع ونقطة تقاطع الارتفاع والضلع المقابل له موجودة كلها على دائرة النقاط التسعة للمثلث والنقاط الثلاثة المتبقية هي منتصف البعد بين رأس المثلث والمركز القائم ونصف قطر دائرة النقاط التسعة يساوي ½ نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث.

ملف:Triangle.NinePointCircle.svg

دائرة النقاط التسعة

اقرأ أيضا

• متوسط المثلث
• منصف الزاوية
• ارتفاع الثملث
• قوانين مساحة المثلث
• علم مثلثات
• مبرهنة فيثاغورس
• دائرة محيطة

وصلات خارجية

• Triangle Calculator - solves for remaining sides and angles when given three sides or angles, supports degrees and radians.
• Clark Kimberling: Encyclopedia of triangle centers. Lists some 3200 interesting points associated with any triangle.
• Christian Obrecht: Eukleides. Software package for creating illustrations of facts about triangles and other theorems in Euclidean geometry.
• Proof that the sum of the angles in a triangle is 180 degrees
• Area of a triangle - 7 different ways
• Triangle definition pages with interactive applets that are also useful in a classroom setting.
• Animated demonstrations of triangle constructions using compass and straightedge.
• Triangles: Theorems and Problems. Interactive illustrations at Geometry from the Land of the Incas.
• Many things about triangles
• Triangle in light aircraft
• All Math Words Encyclopedia for grades 7-10.

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

an:Trianglo arc:ܡܬܠܬܐ arz:مثلث ast:Triángulu ay:Mujina az:Üçbucaq bat-smg:Trėkompis be:Трохвугольнік be-x-old:Трыкутнік bg:Триъгълник bn:ত্রিভুজ br:Tric'horn bs:Trougao ca:Triangle ckb:سێگۆشە co:Triangulu cs:Trojúhelník csb:Trzënórt cv:Виç кĕтеслĕх cy:Triongl da:Trekant de:Dreieck dsb:Tśirožk el:Τρίγωνο Triangle]] eo:Triangulo es:Triángulo et:Kolmnurk eu:Hiruki fa:مثلث fi:Kolmio fr:Triangle ga:Triantán gan:三角形 gl:Triángulo he:משולש hi:त्रिभुज hr:Trokut hsb:Třiróžk ht:Triyang hu:Háromszög hy:Եռանկյուն id:Segitiga io:Triangulo is:Þríhyrningur it:Triangolo ja:三角形 jv:Segi telu ka:სამკუთხედი kk:Үшбұрыш km:ត្រីកោណ kn:ತ್ರಿಕೋನ ko:삼각형 ku:Sêgoşe la:Triangulum li:Driehook lmo:Triàngol ln:Mbata-isáto lo:ຮູບສາມແຈ lt:Trikampis lv:Trīsstūris mk:Триаголник ml:ത്രികോണം mn:Гурвалжин mr:त्रिकोण ms:Segi tiga new:त्रिकोण nl:Driehoek (meetkunde) nn:Trekant no:Trekant nrm:Trian pl:Trójkąt pnb:تکون ps:درېڅنډی pt:Triângulo qu:Kimsak'uchu ro:Triunghi ru:Треугольник rue:Триуголник scn:Triànculu sco:Triangle sh:Trokut simple:Triangle sk:Trojuholník sl:Trikotnik sn:Gonyanhatu so:Saddax-xagal sq:Trekëndëshi sr:Троугао su:Juru tilu sv:Triangel sw:Pembetatu ta:முக்கோணம் te:త్రిభుజం tg:Секунҷа th:รูปสามเหลี่ยม tl:Tatsulok tr:Üçgen tt:Өчпочмак uk:Трикутник ur:مثلث uz:Uchburchak vi:Tam giác vls:Drieoek war:Trayanggulo yi:דרייעק yo:Anígunmẹ́ta zh:三角形 zh-classical:三角形 zh-min-nan:Saⁿ-kak-hêng zh-yue:三角形