قانون الجيب

ملف:LabeledTriangle.svg

المثلث ABC.

في حساب المثلثات، قانون الجيب هو قانون أو معادلة تربط بين أطوال أضلاع المثلث بجيوب زواياه الداخلية طبقاً للعلاقة:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

حيث c ،b ،a هي أطوال أضلاع المثلث، وC ،B ،A، هي الزوايا المقابلة لهذه الأضلاع على الترتيب.

من المفيد أحياناً كتابة قانون الجيب بصورة مقلوبة:

$\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}=\frac{sinC}{c}$

أهمية قانون الجيب

• يستخدم قانون الجيب بشكل رئيسي عند حساب طولي ضلعين مجهولين في مثلث بمعرفة طول الضلع الثالث و قياس أي زاويتين من زواياه الثلاث، تعد هذه المسألة من أشهر المسائل الرياضية في التثليث في حساب المثلثات.
• يمكن استخدام قانون الجيب لمعرفة قياس زاوية ما في مثلث إذا علم طولا أي ضلعين فيه و قياس زاوية غير المحصورة بينهما، و في هذا النوع من المسائل قد نصل أحياناً إلى ما يعرف بالحالة المبهمة للمثلث، حيث نحصل على قيمتين مختلفتين للزاوية المحصورة بين الضلعين المعلومين.
• يكثر استخدام قانون الجيب في مسائل التفكير العالي و في البراهين و الإثباتات في الهندسة الرياضية.

إثبات القانون

البرهان الأول

ملف:LabeledTriangle.svg

المثلث ABC.

في حساب المثلثات يمكن حساب مساحة المثلث بدلالة ضلعين و جيب الزاوية المحصورة بينهما بالعلاقة:

$k=\frac{1}{2}abSinC=\frac{1}{2}acSinB=\frac{1}{2}bcSinA$

حيث K مساحة المثلث ABC.

$\frac{1}{2}abSinC=\frac{1}{2}acSinB$

←

$bSinC=cSinB$

←

$\frac{c}{SinC}=\frac{b}{SinB}$

و بتكرار الخطوات السابقة مرة أخرى نصل إلى ما تبقى من القانون.

البرهان الثاني

ملف:Sine law.png

المثلث ABC.

نسقط عمود من أي زاوية في المثلث ولتكن A على الضلع المقابل لها يقطعه في N.

من المعلوم أن جيب الزاوية في المثلث القائم الزاية يساوي النسبة بين طولي الضلع المقابل لها و الوتر.

في المثلث ANC

$SinC=\frac{AN}{b}$

← AN = b Sin C

و في المثلث ANB

$SinB=\frac{AN}{c}$

← AN = c Sin B

مما سبق نصل إلى أن c Sin B = b Sin C و منها نصل إلى القانون.

الحالة المبهمة

ملف:Sine Law - Ambiguous Case.svg

الحالة المبهمة لمثلث مستوٍ

عند استخدام قانون الجيب لحساب قياس زاوية قد نحصل أحياناً على حلين مختلفين للمثلث، هذا يعني أنه يوجد مثلثان يتفقان في عناصر المثلث المعلومة و لكنهما يختلفان في قيم العناصر المجهولة. هذه الحالة تسمى الحالة المبهمة، و لا تحصل هذه الحالة إلا بتحقق الشروط التالية:

1. أن تكون العناصر المعلومة في المثلث هي طول ضلعين و ليكونا b ، a و قياس زاوية غير المحصورة بينهما، ولتكن الزاوية A.
2. أن تكون الزاوية المعلومة A زاوية حادة (A < 90°).
3. أن يكون الضلع المقابل للزاوية المعلومة (الضلع a في حالتنا) أصغر طولاً من الضلع الآخر المعلوم (الضلع b) أي أن a < b.
4. أن يكون الضلع a أطول من ارتفاع المثلث القائم الذي وتره b و إحدى زاوياه A (أي a > b sin A).

في الواقع هذه الحالة ناتجة من إحدى خواص الدوال المثلثية وبالتحديد دالة الجيب لأن (Sin x = Sin (180-x.

ولهذا سنحصل على قيمتين للزاوية B عند تحقق هذه الشروط الأربعة: إما أن تكون حادة B < 90 أو أن تكون منفرجة B > 90.

$B={\sin }^{-1}\left(\frac{b\sin A}{a}\right)$

أو

$B=180^{\circ }-{\sin }^{-1}\left(\frac{b\sin A}{a}\right)$

علاقة قانون الجيب بالدائرة المحيطة بالمثلث

ملف:Sines law.PNG

المثلث ABC.

إذا كان R نصف قطر الدائرة المارة برؤوس المثلث ( الدائرة المحيطة بالمثلث أو الدائرة الخارجة للمثلث ) فإن:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

لإثبات ما سبق نرسم الدائرة المحيطة بالمثلث ABC و التي مركزها M و نصف قطرها R و نسقط عمود من M على AB يقطعه في N.

المثلث BMA متساوي الساقين فيه BM,AM يساويان نصف القطر R.

قياس الزاوية ACB يساوي نصف قياس الزاوية AMB (قياس زاوية محيطية يساوي نصف قياس الزاوية المركزية التي تشترك معها في نفس القوس).

و قياس الزاوية AMN يساوي نصف قياس الزاوية AMB ( من تطابق المثلثين AMN و BMN ).

← AMN = ACB

←

$SinAMN=\frac{AN}{AM}$ (جيب الزاوية يساوي المقابل على الوتر في المثلث القائم).

←

$SinC=\frac{\frac{AB}{2}}{R}$ (الزاوية AMN = الزاوية C، نصف القطر R = AM، طول القطعة المستقيمة AN نصف طول القطعة AB).

←

$RSinC=\frac{AB}{2}$.

←

$2R=\frac{c}{SinC}$ (لأن AB = c).

و بما أن اختيارنا للزاوية C لم يكن لميزة خاصة بها فبإمكاننا تكرار ما سبق مع الزاويتين A,B.

اقرأ أيضاً

• تثليث
• قانون جيب التمام
• دالة الجيب
• دوال مثلثية

وصلات خارجية

• قانون الجيب
• قوانين مساحة المثلث
• تثليث الزاوية

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

als:Sinussatz bg:Синусова теорема bs:Sinusni teorem ca:Teorema del sinus cs:Sinová věta da:Sinusrelation de:Sinussatz Law of sines]] eo:Leĝo de sinusoj es:Teorema del seno eu:Sinuen teorema fa:قانون سینوس‌ها fi:Sinilause fr:Loi des sinus he:משפט הסינוסים hi:ज्या नियम hu:Szinusztétel hy:Սինուսների թեորեմ id:Hukum sinus is:Sínusreglan it:Teorema dei seni ja:正弦定理 ka:სინუსების თეორემა kk:Синустар теоремасы km:ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស ko:사인 법칙 ms:Hukum sinus nl:Sinusregel no:Sinussetningen pl:Twierdzenie sinusów pms:Teorema dij sen pt:Lei dos senos ro:Teorema sinusurilor ru:Теорема синусов sk:Sínusová veta sl:Sinusni izrek sq:Teorema e sinusit sr:Синусна теорема sv:Sinussatsen ta:சைன் விதி tr:Sinüs teoremi uk:Теорема синусів ur:قانون جیب zh:正弦定理