عدد بيرنولي

في الرياضيات، أعداد بيرنولي هي متسلسلة من الأعداد الكسرية (المنطقة) ذات العلاقة الوثيقة مع نظرية الأعداد. ومع أنها سهلة الحساب، فإن قيم أعداد بيرنولي ليس لها أي وصف أولي : فهي قيم دالة زيتا الريمانية عند أعداد صحيحة سالبة (دالة ريمان زيتا). تم اكتشاف هذه الأعداد بواسطة الرياضي السويسري جاكوب بيرنولي, الذي سميت عليه, وفي الوقت نفسه تقريبا عن طريق الرياضي الياباني سيكي كاوا. نشر اكتشاف سيكي مؤخرا عام 1712 في عمله Katsuyo Sampo; وكذلك اكتشاف بيرنولي مؤاخرا في 1713. وتظهر هذه الأعداد في نشر متسلسلة تايلور لدوال ظل الزاوية والظل الزائدي, في صيغة أويلر-ماكلورين, وفي تعابير لبعض قيم دالة ريمان زيتا. في الملاحظة G لعالمة الرياضيات آدا لوفلايس عن المحرك التحليلي من العام 1842, تصف لاف ليس خوارزمية لتوليد أعداد بيرنولي باستخدام آلة بابيج. ونتيجة لذلك, تتميز أعداد بيرنولي كونها موضوع أول برنامج حاسوب كتب.

مقدمة

تعود جذور أعداد برنولي إلى تاريخ الحساب المبكر لمجموع القوى الصحيحة، والتي أصبحت محل اهتمام الرياضيين منذ قدمها.

ملف:Seki Kowa Katsuyo Sampo Bernoulli numbers.png

أحد صفحات Katsuyo Sampo (1712)لسيكي كاوا, مجدولة معاملات ذات الحدين وأعداد بيرنولي

كانت طرق حساب المجموع الأعداد الصحيحة الموجبة الأولى n, مجموع التربيعات والتكعيبات للأعداد الصحيحة الموجبة n الأولى- كانت قد عرفت, ولكن لم تكن هنالك "صيغا" حقيقية، ولكن كانت تعطى أوصاف فقط في كلمات.

من بين عباقرة الرياضيات المميزين والذين انتبهوا لهذه المسألة كان: فيثاغورث(c. 572–497 قبل الميلاد, يوناني)، أرشيمدس (287–212 ق.م, إيطاليا), اريابهاتا (476 ق.م., الهند), الكرخي (1019م, البصرة) والحسن بن الهيثم (965م, في البصرة -. 1039,م في القاهرة). لم يحرز الرياضيون تقدما ملحوظا إلا في أواخر القرن السادس عشر وأوائل السابع عشر. في الغرب لعب كل من توماس هاريوت (1560–1621) من انكلترا, جوهان فاولابر (1580–1635) من ألمانيا, بيير دي فيرما (1601–1665) وزميله الرياضي الفرنسي بليز باسكال (1623–1662) دورا هاما في هذا التطور.

بدا أن توماس هاريوت كان أول من اشتق وكتب صيغ مجموع القوى باستخدام العلامة الرمزية، ولكنه أيضا وصل إلى مجموع القوى الرابعة. أعطى جوهان فاولابر صيغا لمجموع القوى حتى القوة السبعة عشر في كتابه Academia Algebrae, عام 1631, أعلى بكثير من ذي قبل, ولكنه لم يعط صيغة عامة. كان الرياضي السويسري جاكوب بيرنولي (1654–1705)أول من لاحظ وجود تسلسل مفرد من الثوابت B₀, B₁, B₂, ... والتي تعطي صيغة منتظمة لجميع مجاميع القوى (Knuth 1993). قبلها بعام كانت قد اكتشفت طريقة مماثلة لحساب مجاميع القوى بواسطة سيكي كاوا في اليابان. بالرغم منذلك, لم يقدم سيكي كاوا طريقته كصيغة عامة مبنية على تسلسل من الثوابت.

المتعة التي صادفها حينما دق على النموذج الذي أراده لحساب معاملات صيغته بسسرعة وسهولة لمجموع القوى حتى cلأي عدد صحيح موجب c يمكن ملاحطتها من تعليقه. لقد كتب:

“بفضل هذا الجدول, استغرق الوقت أقل من نصف ربع الساعة لأجد أن القوى العاشرة للـ1000 عدد الأولى مضافة مع بعضها سوف تنتج المجموع:
91,409,924,241,424,243,424,241,924,242,500.”

تعد صيغة بيرنولي لمجاميع القوى أعظم صيغة مفيدة يمكن تعميمها حتى اليوم. يطلق على معاملات بيرنولي اليوم بأعداد بيرنولي, بناء على اقتراح. أبراهام دي موافر.

مجموع القوى

بعض قيم أعداد بيرنولي

طالع أيضاً: صيغة فاولابر

n	Bn
0	1
1	−1/2
2	1/6
3	0
4	−1/30
5	0
6	1/42
7	0
8	−1/30
9	0
10	5/66
11	0
12	−691/2730
13	0
14	7/6

الصورة المغلقة لمجاميع القوى لقيم ثابتة من m

$S_m(n)=\sum _{k=1}^n{k}^m=1^m+2^m+\cdots +n^m$

تمثل دائما كثيرات حدود في n من الدرجة m + 1. لاحظ أن S_m(0) = 0 لكل m ≥ 0 لأنه في هذه الحالة يكون المجموع مجموع خالي. تكون معاملات كثيرات الحود هذه ذات صلة بأرقام بيرنولي بعلاقة صيغة بيرنولي:

$S_m(n)=\frac{1}{m+1}\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{k})B_k{n}^{m+1-k}$

لتكن n ≥ 0. بجعل m مساوية لـ 0 وB₀ = 1 تعطي أعداد طبيعية 0, 1, 2, 3, ….

$0+1+1+\cdots +1=\frac{1}{1}\left(B_{0}n\right)=n.$

بجعل m مساوية لـ 1 وB₁ = 1/2 يعطي أعداد مثلثية 0, 1, 3, 6, … (تعاقب.

$0+1+2+\cdots +n=\frac{1}{2}(B_0{n}^2+2B_1{n}^1)=\frac{1}{2}(n^2+n).$

بجعل m مساوية لـ 2 وB₂ = 1/6 تعطي أعداد هرمية مربعة 0, 1, 5, 14, ….

$0+1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{1}{3}(B_0{n}^3+3B_1{n}^2+3B_2{n}^1)=\frac{1}{3}(n^3+\frac{3}{2}{n}^2+\frac{1}{2}n).$

مع أن صيغة بيرنولي تعكس صراحة ما كتبه بيرنولي إلا أن بعض المؤلفين يعاملون صيغة بيرنولي بطريقة أخرى لا أنها متوافقة مع تعبير بيرنولي ولا أن لها ميزة واضحة مقارنة بالتعبير. فهم يكتبون:

$S_m(n)=\frac{1}{m+1}\sum _{k=0}^m(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{k})B_k{n}^{m+1-k}$

لتجنب التناقض مع الصيغة أعلاه، كان على هؤلاء المؤلفين أن يضعوا B₁ = −1/2. في القسم التالي سوف يتم التعليق على عواقب الفروق الناتجة سيما أن من المحتمل أن ينجم عنها بعض اللبس.

يطلق عادة على صيغة بيرنولي صيغة فاولابر تقدير لجون فاولابر الذي أوجد أيضا طرقا جديرة بالاهتمام لحساب مجاميع القوى.

عممت صيغة فاولابر على يد في. غو وجاي زيغ V. Guo & J. Zeng إلى q-analog (Guo & Zeng 2005).

تعاريف

لقد تم إيجاد العديد من أوصاف أعداد بيرنولي في الـ300 عام الماضية، وكل منها أمكن استعماله لتقديم هذه الأعداد. فيما يلي سيتم ذكر أربعة من أهم هذه التصورات:

• معادلة معاودة،
• صيغة صريحة،
• دالة توالدية
• وصف خوارزمي.

لإثبات تكافؤ هذه الخواص الأربعة على القارئ العودة إلى التفسيرات الرياضية مثل(Ireland & Rosen 1990) أو (Conway & Guy 1996).

لسؤ الحظ يعطى التعريف في الأدب على وجهين مختلفين: بالرغم من الحقيقة أن بيرنولي قد عرف B₁ = 1/2, some يضع المؤلفون B₁ = −1/2 (كثيرا منها في اصطلاحات مختلفة بالأسفل). لتجنب الخطر والالتباس سيتم شرح كلا الاختلافين هنا، خطوة بخطوة.

تعريف المعاودة

تعطى معادلة المعاودة بشكلها الأفضل في صورة أكثر تعميما نوعا ما

$B_m(n)=n^m-\sum _{k=0}^{m-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})\frac{B_k(n)}{m-k+1}$

تعرف هذه المعادلة الأعداد النسبية B_m(n) لجميع الأعداد الصحيحة n ≥ 0, m ≥ 0. 0⁰ التي يجب تفسيرها على أنها 1. يكون للتكرار أساسه في B₀(n) = 1 لكل n. يأتي الاختلافان الآن بوضع n = 0 على الترتيب n = 1. إضافة لذلك يتم تبسيط الترميز بحذف المرجع للمتغير  n.

n = 0	n = 1
$B_m=[m=0]-\sum _{k=0}^{m-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})\frac{B_k}{m-k+1}$	$B_m=1-\sum _{k=0}^{m-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})\frac{B_k}{m-k+1}$

التعبير هنا [m = 0] يحمل القيمة 1 إذا كان m = 0 و0 عدا ذلك (حاصرة آيفرسون أو { كبيرة). عند حدوث لبس بين التعريفين يمكن تجنبه بالإشارة للتعريف الأعم وبتقديم المتغير المحذوف: بكتابة B_m(0) في الحالة الأولى وB_m(1) في الثانية سوف يشير للقيمة السابقة دول التباس.

التعريف الصريح

مرة أخرى، بدءً بصغية أكثر عمومية نوعاً ما

$B_m(n)=\sum _{k=0}^m\sum _{v=0}^k(-1{)}^v(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{v})\frac{{(n+v)}^m}{k+1},$

تقودنا الخيارات n = 0 وn = 1 إلى

n = 0	n = 1
$$\begin{gathered} B_m=\sum _{k=0}^m\sum _{v=0}^k(-1{)}^v(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{v})\frac{v^m}{k+1} \\ , \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} B_m=\sum _{k=1}^{m+1}\sum _{v=1}^{k+1}(-1{)}^{v+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{v-1})\frac{v^m}{k} \\ . \end{gathered}$$

هناك معلومات خاطئة منشترة على نحو واسع تفيد بأنه لاتوجد صيغ بسيطة مغلقة لأعداد بيرنولي. المعادلتان الأخيرتان تبينان أن هذا الأمر غير صحيح. وأكثر من ذلك، كانت قد نشرت في 1893 Louis Saalschütz إجمالي 38 صيغة صريحة لأعداد بيرنولي (Saalschütz 1893),

دالة التوليد

تعطى الصيغة العامة لدالة التوليد بالصورة:

$$\begin{gathered} \frac{t{e}^{nt}}{e^t-1}=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_m(n)\frac{t^m}{m!} \\ . \end{gathered}$$

تقود الخيارات n = 0 وn = 1 إلى

n = 0	n = 1
$\frac{t}{e^t-1}=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_m\frac{t^m}{m!}$	$\frac{t}{1-e^{-t}}=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_m\frac{t^m}{m!}$

وصف الخوارزمية

بالرغم من إمكانية استعمال الصيغة التكرارية السابقة للحساب فإنها تستعمل بشكل رئيس لتأسيس اتصال مع مجاميع القوى نظراً لأنها مكلفة حسابياً. مع ذلك، إن كل من الخوارزميات البسيطة والعالية النهاية متوفرة لحساب أعداد بيرنولي. الطريقة البسيطة تعطى في الخوارزم العام التالي في مربع النص 'خوارزم أكياما تانيغاوا' والمؤشرات لخوارزميات النهاية العليا معطاة في القسم التالي.

حساب أعداد برنولي بكفاءة

من المفيد في بعض التطبيقات القدرة على حساب أعداد بيرنوليB₀ حتى B_p − 3 متبقيا p, حيث p هو عدد أولي; فمثلاً لفحص ما إذا كان تخمين فانديفير صحيحاً، أو حتى للتحقق من أن p عدد أولي شاذ. ليس مناسباً أن نقوم بحساب كهذا باستعمال الصيغة التكرارية السابقة، لأنه على الأقل (ثابت من مضاعفات) p² سيتطلب عمليات حسابية. لحسن الحظ فقد طورت طرق أسرع (Buhler et al. 2001) والتي تتطلب O(p (log p)²) عملية فقط (انظر علامة أو الكبرى).

يصف ديفيد هاري (Harvey 2008) خوارزمية لحساب أعداد بيرنولي عن طريق حساب B_n متبقياً p لأعداد أولية صغيرة عديدة p، ومن ثم يعيد إنشاء B_n عن طريق نظرية المتبقي الصينية. كتب هارفي بأن المقارب معقدة زمنياً لهذا الخوارزم هي O(n² log(n) ^2+eps) ويصرح بأن هذه الرؤية أسرع بشكل ملحوظ من الرؤى المعتمدة على الطرق الأخرى. طريقة هاري هي مضمنة في سايج منذ الإصدار 3.1. باستخدام هذه الرؤية قام هارفي بحساب B_n لقيم n = 10⁸ وهي رقم قياسي جديد (أكتوبر 2008). قبل بيرنارد كيلنر (Kellner 2002) حسب B_n لأعلى دقة لقيم n = 10⁶ في ديسمبر 2002 وOleksandr Pavlyk (Pavlyk 2008) لقيم n = 10⁷ بواسطة 'ماثماتيكا' في أبريل 2008.

تاريخ حساب أعداد بيرنولي

الحاسب	السنة	n	المراتب*
J. Bernoulli	~1689	10	1
L. Euler	1748	30	8
J.C. Adams	1878	62	36
D.E. Knuth, T.J. Buckholtz	1967	360	478
G. Fee, S. Plouffe	1996	10000	27677
G. Fee, S. Plouffe	1996	100000	376755
B.C. Kellner	2002	1000000	4767529
O. Pavlyk	2008	10000000	57675260
D. Harvey	2008	100000000	676752569

• المراتب ينبغي فهمها على أنها قوى 10 عندما تكتب B(n) كعدد حقيقي في العلامة العلمية الموحدة.

وجهات نظر واصطلاحات مختلفة

يمكن النظر في أعداد بيرنولي من وجهات أربعة مختلفة:

• ككائنات رياضياتية قائمة بذاتها،غ
• ككائنات توافقياتية
• كقيم لكثيرات حدود متعاقبة،
• كقيم من دالة ريمان-زيتا.

تقودنا كل وجهة نظر مما سبق إلى مجموعة أخرى من الاصطلاحات.

• أعداد بيرنولي ككائنات قائمة بذاتها.
  تعاقب مصاحب: 1/6, −1/30, 1/42, −1/30,...
  هذه هي وجهة نظر جاكوب بيرنولي (انظر مقتطفات من كتابه . (Ars Conjectandi، الطبعة الأولى، 1713). تفهم أعداد بيرنولي على أنها أعداد تكرارية بطبيعتها، تم ابتكارها لحل مشكلة رياضياتية معينة ألا وهي مجموع القوى، أو التطبيق البارادياغماتي - paradigmatic application لأعداد بيرنولي. هناك لبس في القول بأن وجهة النظر هذه 'archaic'. يستخدم هذه العبارة مثلاً جين بير سير في كتابه دورة في الحساب وهو كتاب معتمد في العديد من الجامعات اليوم.
• أعداد بيرنولي ككائنات توافقياتية.
  تعاقب مصاحب: 1, +1/2, 1/6, 0,....
  تركز هذه النظرة على العلاقة بين أعداد ستيرلنغ وأعداد برنولي وتظهر بطبيعة الحال في التفاضل والتكامل للفوارق المحدودة.

  ${\left(\frac{z{e}^z}{e^z-1}\right)}^x=x\sum _{n\ge 0}{\sigma }_n(x)z^n$

  وبشكل متعاقب B_n = n! σ_n(1) for n ≥ 0.
• أعداد برنولي كقيم لكثيرات حدود متعاقبة.
  المقصود هنا هو كثيرات حدود برنولي والتي سبق الحديث عنها. يمكن تعريف أعداد برنولي بطريقتين مختلفتين:
  B_n = B_n(0). تعاقب مصاحب: 1, −1/2, 1/6, 0,....
  B_n = B_n(1). تعاقب مصاحب: 1, +1/2, 1/6, 0,....
  يختلف التعريفان فقط في إشارة B₁. الخيار B_n = B_n(0) هو الاصطلاح الذي تم اعتماده في كتاب الدوال الرياضيايتية - Handbook of Mathematical Functions.
• أعداد بيرنولي كقيم من دالة ريمان زيتا.
  التعاقب المصاحب: 1, +1/2, 1/6, 0,....

  ملف:BernoulliNumbersByZetaLowRes.png

  أعداد برنولي كما تصفها دالة ريمان زيتا.

  يتوافق هذا الاصطلاح مع الاصطلاح B_n = B_n(1) (مثلاً J. Neukirch وM. Kaneko). الإشارة '+' for B₁ متلائمة مع تمثيلات أعداد بيرنولي من دالة ريمان زيتا.

${B}_n=n!{\sigma }_n(1)=B_n(1)=-n\zeta (1-n)(n\ge 0)$

إنظر أيضا

• صيغة فاولابر
• صيغة ايولر-ماكلورين
• كثيرة حدود لاغرانج

المصادر

• Abramowitz, M.; Stegun, C. A. (1972), "§23.1: Bernoulli and Euler Polynomials and the Euler-Maclaurin Formula", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (9th printing ed.), New York: Dover, pp. 804–806 ‎.
• André, D. (1879), "Développements de sec x et tan x.", Comptes Rendus Acad. Sci. 88: 965–967 ‎.
• André, D. (1881), "Mémoire sur les permutations alternées", J. Math. 7: 167–184 ‎.
• Arlettaz, D. (1998), "Die Bernoulli-Zahlen: eine Beziehung zwischen Topologie und Gruppentheorie", Math. Semesterber 45: 61–75, doi:10.1007/s005910050037 ‎.
• Arnold, V. I. (1991), "Bernoulli-Euler updown numbers associated with function singularities, their combinatorics and arithmetics", Duke Math. J. 63: 537–555 ‎.
• Ayoub, A. (1981), "Euler and the Zeta Function", Amer. Math. Monthly 74: 1067–1086 ‎.
• Buhler, J.; Crandall, R.; Ernvall, R.; Metsankyla, T. (2001), "Irregular Primes and Cyclotomic Invariants to 12 Million", Journal of Symbolic Computation 31 (1–2): 89–96, doi:10.1006/jsco.1999.1011 ‎.
• Carlitz, L. (1968), "Bernoulli Numbers.", Fib. Quart. 6: 71–85 ‎.
• Clausen, Thomas (1840), "Lehrsatz aus einer Abhandlung über die Bernoullischen Zahlen", Astr. Nachr. 17: 351–352 ‎.
• Conway, John; Guy (1996), The Book of Numbers, Springer-Verlag ‎.
• Dilcher, K.; Skula, L.; Slavutskii, I. Sh. (1991), "Bernoulli numbers. Bibliography (1713–1990)", Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics (Kingston, Ontario) (87), [١] ‎
• Dumont, D.; Viennot, G. (1980), "A combinatorial interpretation of Seidel generation of Genocchi numbers", Ann. Discrete Math. 6: 77–87, doi:10.1016/S0167-5060(08)70696-4 ‎.
• Dumont, D. (1981), "Matrices d'Euler-Seidel", Séminaire Lotharingien de Combinatoire, [٢] ‎
• Elkies, N. D. (2003), "On the sums Sum_(k=-infinity...infinity) (4k+1) (-n)", Amer. Math. Monthly 110 (No. 7): 561-573, [٣] ‎
• Entringer, R. C. (1966), "A combinatorial interpretation of the Euler and Bernoulli numbers", Nieuw. Arch. V. Wiskunde 14: 241–6 ‎.
• von Ettingshausen, A. (1827), Vorlesungen über die höhere Mathematik, Bd. 1, Vienna: Carl Gerold ‎.
• Euler, Leonhard (1735), "De summis serierum reciprocarum", Opera Omnia I.14, E 41,: 73–86 ‎; On the sums of series of reciprocals, arXiv:math/0506415v2 (math.HO).
• Fee, G.; Plouffe, S. (2007), An efficient algorithm for the computation of Bernoulli numbers. ‎ arXiv:math/0702300v2 (math.NT)
• Graham, R. L.; Knuth, D. E.; Patashnik, O. (1989), Concrete Mathematics, Addison-Wesley ‎.
• Guo, Victor J. W.; Zeng, Jiang (2005), "A q-Analogue of Faulhaber's Formula for Sums of Powers", The Electronic Journal of Combinatorics 11(2), [٤] ‎
• Harvey, David (2008), A multimodular algorithm for computing Bernoulli numbers ‎ arXiv:0807.1347v2 math.NT
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer-Verlag ‎
• Jacobi, C. G. J. (1834), "De usu legitimo formulae summatoriae Maclaurinianae", Journal für die reine und angewandte Mathematik 12 ‎
• Jordan, Charles (1950), Calculus of Finite Differences, New York: Chelsea Publ. Co. ‎.
• Kaneko, M. (2000), "The Akiyama-Tanigawa algorithm for Bernoulli numbers", Journal of Integer Sequences 12, [٥] ‎.
• Kellner, Bernd (2002), Program Calcbn – A program for calculating Bernoulli numbers, [٦] ‎.
• Knuth, D. E.; Buckholtz, T. J. (1967), "Computation of Tangent, Euler, and Bernoulli Numbers", Mathematics of Computation 21: 663–688, doi:10.2307/2005010 ‎.
• Knuth, D. E. (1993), "Johann Faulhaber and the Sums of Powers", Mathematics of Computation 61: 277-294 ‎ arXiv:math/9207222 (math.CA).
• Kummer, E. E. (1850), "Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die Gleichung x^λ + y^λ = z^λ durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten λ, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten (λ-3)/2 Bernoulli'schen Zahlen als Factoren nicht vorkommen", J. Reine Angew. Math. 40: 131-138 ‎ DIGIZ.
• Kummer, E. E. (1851), "Über eine allgemeine Eigenschaft der rationalen Entwicklungscoefficienten einer bestimmten Gattung analytischer Functionen", J. Reine Angew. Math. 41: 368-372 ‎ DIGIZ.
• Luschny, Peter (2007), An inclusion of the Bernoulli numbers, [٧] ‎
• Menabrea, L. F., "Sketch of the Analytic Engine invented by Charles Babbage, with notes upon the Memoir by the Translator Ada Augusta, Countess of Lovelace." Bibliothèque Universelle de Genève, October 1842, No. 82. http://www.fourmilab.ch/babbage/sketch.html
• Milnor, John W.; Stasheff, James D. (1974), "Appendix B: Bernoulli Numbers", Characteristic Classes, Annals of Mathematics Studies, 76, Princeton University Press and University of Tokyo Press, pp. 281–287 ‎.
• قالب:Neukirch ANT
• Pavlyk, Oleksandr (2008), Today We Broke the Bernoulli Record: From the Analytical Engine to Mathematica, Wolfram Blog, [٨] ‎.
• Riesz, M. (1916), "Sur l'hypothèse de Riemann", Acta Mathematica 40: 185–90, doi:10.1007/BF02418544 ‎.
• Saalschütz, Louis (1893), Vorlesungen über die Bernoullischen Zahlen, ihren Zusammenhang mit den Secanten-Coefficienten und ihre wichtigeren Anwendungen, Berlin, [٩] ‎
• Seidel, L. (1877), "Über eine einfache Entstehungsweise der Bernoullischen Zahlen und einiger verwandten Reihen", Sitzungsber. Münch. Akad. 4: 157–187 ‎.
• Selin, Helaine (1997), Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, Springer, pp. 819, ISBN 0792340663 ‎.
• Slavutskii, Ilya Sh. (1995), "Staudt and arithmetical properties of Bernoulli numbers", Historia Scientiarum 2: 69–74 ‎.
• Smith, David Eugene; Mikami, Yoshio (1914), A history of Japanese mathematics, Open Court publishing company, [١٠] ‎.
• von Staudt, K. G. Ch. (1840), "Beweis eines Lehrsatzes, die Bernoullischen Zahlen betreffend", Journal für die reine und angewandte Mathematik 21: 372–374 ‎.
• von Staudt, K. G. Ch. (1845), "De numeris Bernoullianis, commentationem alteram", Erlangen ‎.
• Sun, Zhi-Wei (2005/2006), Some curious results on Bernoulli and Euler polynomials, [١١] ‎.
• Woon, S. C. (1997), "A tree for generating Bernoulli numbers", Math. Mag. 70: 51-56 ‎.
• Woon, S. C. (1998), Generalization of a relation between the Riemann zeta function and Bernoulli numbers, [١٢] ‎
• Worpitzky, J. (1883), "Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen", Journal für die reine und angewandte Mathematik 94: 203–232}, [١٣] ‎.

اخبار

• مهاجر عراقي في السادسة عشرة من العمر يقيم في السويد، فك أحجية رياضيات شغلت الخبراء لأكثر من 300 عام...

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

de:Bernoulli-Zahl Bernoulli number]] es:Número de Bernoulli fi:Bernoullin luku fr:Nombre de Bernoulli he:מספרי ברנולי hi:बर्नौली संख्याएँ hu:Bernoulli-számok it:Numeri di Bernoulli ja:ベルヌーイ数 kk:Бернулли сандары nl:Bernoulligetal pl:Liczby Bernoulliego pt:Números de Bernoulli ru:Числа Бернулли sl:Bernoullijevo število sv:Bernoullital tr:Bernoulli sayısı uk:Числа Бернуллі uz:Bernoulli sonlari zh:伯努利数