دالة زيتا

ملف:Complex zeta.jpg

دالة زيتا لريمان (ζ(s في المستوى العقدي. لون كل نقطة يمثل قيمة الدالة (ζ(s. الألوان المظلمة تمثل قيما قريبة من الصفر بينما مثلت الأعداد الحقيقية الموجبة باللون الأحمر

دالة زيتا (اِقْتِرانُ ريمان الزَّائِيُّ حسب مجمع اللغة العربية بالقاهرة) دالة خاصّة لها أهمية عظيمة في نظرية الأعداد. تعريفها المشهور الصالح لأجل $\mathrm{\Re }(s)>1$

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}.$

يمكن تعريفها بصيغ أخرى عدبدة نخص بالذكر منها جداء أويلر

$\frac{1}{\zeta (s)}=\prod _{p\text{ prime}}^{\mathrm{\infty }}(1-p^{-s}).$

و فيما يلي برهان هاته الصيغة :

$\zeta (s)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+\dots$

دعونا نحسب الجداء التالي :

$(1-\frac{1}{2^s})\zeta (s)=1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{9^s}+\dots$

نلاحظ أن 2 و مضاعفاته قد اختفوا من الجانب الأيمن من الصيغة. سنقوم بأضافة 3 للمعادلة مما يعطي ما يلي:

$(1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{2^s})\zeta (s)=1+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{11^s}+\frac{1}{13^s}+\dots$

بإضافة جميع الأعداد الأولية، نحصل على النتيجة. و هذه الطريقة تذكر بغربال إراتوستينس

صيغة الدالة للأعداد الزوجية

هذه الصيغة تنسب لأولير, وهي تعطي قيمة ζ(2k) للأعداد الزوجية:

$\zeta (2k)=\frac{(-1{)}^{k-1}{B}_{2k}(2\pi {)}^{2k}}{2(2k)!}$

حيث B_2k هي أعداد بيرنولي.

و هذه بعض القيم:

ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945, ζ(8) = π⁸/9450

أما بالنسبة للأعداد الفردية, فلا توجد صيغة لحساب زيتا. فقط نعرف قيمة 3 التي هي: ζ(3) = 1,2020569،

معلومات إضافية

إذا كانت حدسية ميرتنز صحيحة، فإن فرضية ريمان صحيحة و أنه لا يوجد أي جذر غير بسيط لدالة زيتا ( أي أنه لا يوجد أي جذر ذي درجة تساوي أو تفوق 2).

و لكنه رغم أن حدسية ميرتنز خاطئة، فإنه لا يزال يعتقد أن فرضية ريمان صحيحة و أن جذور دالة زيتا بسيطة (أي أن درجات هاته الجذور لا تساوي و لا تفوق 2)

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

bg:Дзета-функция на Риман bs:Riemannova zeta-funkcija ca:Funció zeta de Riemann cs:Riemannova funkce zeta da:Riemanns zetafunktion de:Riemannsche ζ-Funktion el:Συνάρτηση ζήτα Riemann zeta function]] eo:Rimana ζ funkcio es:Función zeta de Riemann fa:تابع زتای ریمان fi:Riemannin zeeta-funktio fr:Fonction zêta de Riemann he:פונקציית זטא של רימן hr:Riemannova zeta-funkcija ht:Fonksyon zeta Riemann hu:Riemann-féle zéta-függvény is:Zetufall Riemanns it:Funzione zeta di Riemann ja:リーマンゼータ関数 ko:리만 제타 함수 nl:Riemann-zèta-functie no:Riemanns zeta-funksjon pl:Funkcja zeta Riemanna pt:Função zeta de Riemann ro:Funcția zeta Riemann ru:Дзета-функция Римана scn:Zeta di Riemann simple:Riemann zeta function sk:Riemannova zeta funkcia sl:Riemannova funkcija zeta sr:Риманова зета-функција sv:Riemanns zeta-funktion ta:ரீமன் இசீட்டா சார்பியம் th:ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ tr:Riemann zeta işlevi uk:Дзета-функція Рімана zh:黎曼ζ函數