جيب (رياضيات)

جيب في الرياضيات هو النسبة بين الضلع المقابل لزاوية والوتر في مثلث ذو زاوية قائمة، بحيث يكون الوتر c هو الضلع المقابل للزاوية القائمة.

ملف:TrigonometryTriangle.svg

في المثلث القائم: sin A = a/c; cos A = b/c; tan A = a/b.

نعتبر المثلث القائم في الشكل حيث يُرمز للوتر (الضلع الأكبر في المثلث) بالرمز c. فيكون تعريف جيب الزاوية A كالآتي:

جيب الزاوية A = المحور الصادي / الوتر (أي c/a)

في الرياضيات وفي الفيزياء وفي الهندسة ، تعتبر التوابع مثلثية أو الدوال المثلثية دوال لزاوية هندسية من أهم الدوال المستخدمة فيها. وهي دوال تتردد في صيغ كثيرة جدا في العلوم ولا مجال لتقدم العلوم بدونها. ومن دراسة حساب المثلثات يمكن وصف ظواهرِ دورية مثل حساب أفلاك الكواكب في الفلك وحسابات التيار المتردد في الهندسة الكهربائية وغيرها.

يمكن تعريف هذه الدوال كنسبة لأضلاع مثلث قائم الذي يَحتوي تلك الزاويةَ أَو بشكل أكثر عمومية كإحداثيات على ما يسمى دائرة واحدية (unit circle).

في الرياضيات، الدوال المثلثية هي دوال ترتبط بالزاوية ، وهي مهمة في دراسة المثلثات وتمثيل الظواهر الدورية [المتكررة كالموجات.]. ويمكن تعريف الدوال المثلثية على أنهم نسب بين ضلعين في مثلث قائم فيه الزاوية المعنية، أو، وبشكل أوسع. كنسبة بين إحداثيات نقاط على دائرة الوحدة، ويعتبر دوما عند الإشارة إلى المثلثات ان الحديث يدور حول مثلث في سطح مستوي (مستوى أحداثي أو إقليدي)، وذلك ليكون مجموع الزوايا 180 درجة دائما.

الدوال الرئسيسة للمثلث القائم

طالع أيضاً: حساب المثلثات

هناك ثلاثة دوال مثلثية أساسية هي:

• جا أو جيب الزاوية A = النسبة بين الضلع المقابل للزاوية a مقسوما على الوتر c.
• جتا أو جيب التمام الزاوية A = النسبة بين الضلع المجاور للزاوية b مقسوما على الوتر c.
• ظا أو ظل الزاوية A = النسبية بين الضلع المقابل للزاوية a والضلع المجاور لها b.

تطبيق في الهندسة

ملف:Sinussatz Beispiel.png

مثال المثلث القائم

بواسطة تعريف جيب الزاوية يمكن حساب الارتفاع $h_c$ في المثلث ABC حيث :

متر $a=5,4$

والزاوية $\beta =42^{\circ }$:

$\begin{array}{rl}\frac{h_c}{a}& =\sin (\beta )\\ h_c& =a\cdot \sin (\beta )\\ h_c& =5,4\cdot \sin (42^{\circ })\approx 3,613\end{array}$

متر

قانون الجيب

مثلما في المثال السابق يمكن حساب الأطوال (والارتفاعات) سواء كانت المقاييس المستخدمة بالمتر أو سنتيمتر أو كيلومتر.

دائرة الوحدة

قمنا أعلاه بحساب جيب الزاوية للمثلث حيث تتغير الزاوية A بين 0 و 90 درجة. ويمكن تعميم تلك الحسابات لتشمل الزوايا بين 0 و 360 درجة عن طريق استخدام دائرة الوحدة. تستخدم تلك الطريقة كثيرا في الفيزياء والفلك والهندسة الكهربائية. وتفسح دائرة الوحدة المجال لحساب الدوال الموجية ، ونبين هنا رسما بيانيا لما يسمى الموجة الجيبية.

ملف:Unit circle.svg

دائرة الوحدة.

ملف:Cosinus.svg

دالة جيب التمام.

حساب جيب الزاوية

ملف:Taylorsine.svg

دالة الجيب (ازرق) ومقاربتها بواسطة متسلسة تايلور من الدرجة السابعة(وردي).

يمكن التعبير عن جيب الزاوية لزاوية x -معبرا عنها بالتقدير الدائري- بواسطة سلسلة تايلور التالية:

$\begin{array}{rl}\sin x& =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1},\\ \end{array}$

اذا كانت الزاوية مقاسة بالدرجات فسوف تحتوي السلسة علي كسور مكونة من قوي ط مقسومة علي 180 كالتالي:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}\sin x_{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}}& =\sin y_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\\ & =\frac{\pi }{180}x-{\left(\frac{\pi }{180}\right)}^3 \\ \frac{x^3}{3!}+{\left(\frac{\pi }{180}\right)}^5 \\ \frac{x^5}{5!}-{\left(\frac{\pi }{180}\right)}^7 \\ \frac{x^7}{7!}+\cdots .\end{array} \end{gathered}$$

كما يمكن التعبير عن جيب الزاوية x بواسطة الكسر المستمر التالي:

$\sin x=\frac{x}{1+\frac{x^2}{2\cdot 3-x^2+\frac{2\cdot 3x^2}{4\cdot 5-x^2+\frac{4\cdot 5x^2}{6\cdot 7-x^2+\ddots }}}}.$

قيم الجيب لبعض الزوايا

ملف:Sin.svg

جا(x)

ملف:Unit circle angles.svg

بعض الزوايا الشائعة موضحة علي دائرة الوحدة.مقدرة بالدرجات.مع قيم الجيب وجيب التمام المناظرة لها(جا θ, جتا θ).

x (الزاوية)			جيب الزاوية x
درجات	دائري	غراد	القيمة بالضبط	بالنظام العشري
0°	0	0g	0	0
180°	$\pi$	200g
15°	$\frac{\pi }{12}$	162⁄3g	$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	0.258819045102521
165°	$\frac{11\cdot \pi }{12}$	1831⁄3g
30°	$\frac{\pi }{6}$	331⁄3g	$\frac{1}{2}$	0.5
150°	$\frac{5\cdot \pi }{6}$	1662⁄3g
45°	$\frac{\pi }{4}$	50g	$\sqrt{\frac{1}{2}}$	0.707106781186548
135°	$\frac{3\cdot \pi }{4}$	150g
60°	$\frac{\pi }{3}$	662⁄3g	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	0.866025403784439
120°	$\frac{2\cdot \pi }{3}$	1331⁄3g
75°	$\frac{5\cdot \pi }{12}$	831⁄3g	$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	0.965925826289068
105°	$\frac{7\cdot \pi }{12}$	1162⁄3g
90°	$\frac{\pi }{2}$	100g	1	1

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

هذه بذرة مقالة عن الرياضيات تحتاج للنمو والتحسين، فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.

انظر أيضا

• منحنى الجيب
• جيب التمام

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

bg:Синус (математика) bs:Sinus ckb:تەژێ cs:Sinus da:Sinus (matematik) de:Sinus und Kosinus el:Ημίτονο Sine]] es:Seno (trigonometría) et:Siinus eu:Sinu he:סינוס (טריגונומטריה) id:Sinus it:Seno (matematica) ka:სინუსი ksh:Sinus la:Sinus (mathematica) lv:Sinuss mr:ज्या nl:Sinus en cosinus nn:Sinus no:Trigonometriske funksjoner#Sinus, cosinus og tangens pms:Cosen pt:Seno sh:Sinus sk:Sínus sr:Синус su:Sinus sv:Sinus tr:Sinüs (matematik) vi:Sin zh:正弦