نهاية (رياضيات)

مواضيع في الحسبان

المبرهنة الأساسية نهايات الدوال استمرارية مبرهنة القيمة المتوسطة حسبان تفاضلي  اشتقاق تغير المتغيرات تفاضل ضمني مبرهنة تايلور معدلات مرتبطة متطابِقات قواعد: قاعدة القوة، قاعدة الضرب، قاعدة ناتج القسمة، قاعدة التسلسل حسبان تكاملي  تكامل قائمة التكاملات تكاملات معتلة التكامل بواسطة: التجزيء، الأقراص، الطبقات الأسطوانية، التعويض، التعويضات المثلثية، الكسور الجزئية، تغيير الرتب حسبان المتجهات  تدرج تباعد التواء لابلاسي مبرهنة التدرج مبرهنة غرين مبرهنة ستوكس مبرهنة التباعد حسبان متعدد المتغيرات  حسبان المصفوفات اشتقاق جزئي تكامل متعدد تكامل خطي تكامل سطحي تكامل حجمي جاكوبي

النهاية في الرياضيات، هي مفهوم أساسي في التفاضل والتكامل، وهي وببساطة القيمة التي تقترب منها قيمة دالة ما لدى اقتراب المتغير السيني من قيمة معينة (حتى يكاد الفرق بين هذه القيمة القريبة والقيمة الحقيقية يصل الصفر؛ قد يساويه إذا كانت الدالة ثابتة مثلا). نشأ مفهوم النهاية في إطار الحاجة لحساب الأطوال والمساحات والحجوم لأشكال مثل الدائرة والكرة، ويعد مفهوم النهاية تطويرا لطريقة الاستنفاذ التي عرفها اليونانيون القدماء والتي استخدمها أرشميدس لحساب مساحة الدائرة.

ويتلخص مفهوم النهاية في أنه طريقة لإيجاد القيمة التي يجب أن يأخذها متغير تابع عندما يؤول المتغير المستقل إلى قيمة معينة، وذلك حتى عندما يتعذر حساب المتغير التابع مباشرة من قواعد الحساب والجبر.

كمثال: ما القيمة التي يصل إليها المقدار $\sin (x)/x$ عندما تؤول $x$ إلى الصفر؟

من الواضح أن التعويض المباشر في هذه الصيغة يعطي خارج قسمة صفر على صفر، وهي كمية غير معينة، لذلك نلاحظ أن المقدار $\sin (x)/x$ أقل من الواحد الصحيح وأكبر من $\cos x$ لأي قيمة للمتغير $x$ قريبة من الصفر، وحيث أن $\cos (0)=1$ فإننا نستنتج أن نهاية المقدار $\sin (x)/x$ هي الواحد.

مثال آخر: فإذا افترضنا أن المتغير المستقل س معرف على المجال المفتوح ]+1,+2[ واقتربت س من منتصف المجال +1.5 دون أن تصل لها, ورافق ذلك أن الدالة تا(س)= س - 1.5 تقترب نتيجة ذلك من القيمة ولنقل (0) فهذا يعني أن نهاية التابع تا(س) هي 0 عندما تقترب س من القيمة +1.5.

إذا افترضنا أن الدالة $f$ معرفة على المجال المفتوح الذي يحتوي العدد $c$ وكان $L$ من مجموعة الأعداد الحقيقية:

وكان من أجل أي عدد $$\begin{gathered} \epsilon \\ >0 \end{gathered}$$ يوجد عدد $$\begin{gathered} \delta \\ >0 \end{gathered}$$ بحيث يتحقق الشرط:

مهما كانت $x$ ضمن المجال فإن:

$0<|x-c|<\delta$ فإن هذا يقتضي أن $|f(x)-L|<\epsilon$.

لنفترض أن الدالة (f(x هي دالة حقيقية وأن c عدد حقيقي أيضا:

عندئذ نقول:

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$

مما يعني أن الدالة $f(x)$ تكون قريبة جدا حسبما نريد من $L$ عندما تقترب $x$ من العدد $c$ ونعبر عن ذلك لغة (أن نهاية $f(x)$, عندما تقترب $x$ من $c$, هي $L$).

انظر أيضا

• نهاية دالة أو متتالية
• تفاضل
• تكامل المحدود وغير محدود

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

هذه بذرة مقالة عن الرياضيات تحتاج للنمو والتحسين، فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

bg:Граница (математика) bs:Granična vrijednost ca:Límit cs:Limita cy:Terfyn (mathemateg) da:Grænseværdi (matematik) el:Όριο (μαθηματικά) Limit (mathematics)]] eo:Limeso es:Límite matemático eu:Limite fa:حد (ریاضی) fi:Raja-arvo fr:Limite (mathématiques) gan:極限 gl:Límite matemático he:גבול (מתמטיקה) hi:सीमा (गणित) hu:Határérték id:Limit io:Limito is:Markgildi it:Limite (matematica) ja:極限 km:លីមីត ko:극한 lmo:Límit (matemàtega) lt:Riba (matematika) ms:Had (matematik) nl:Limiet no:Grenseverdi pl:Granica (matematyka) pt:Limite ro:Limită (matematică) ru:Предел (математика) sk:Limita sq:Limiti sr:Гранична вредност sv:Gränsvärde tr:Limit uk:Границя ur:حد (ریاضی) vi:Giới hạn zh:极限 (数学)