نهاية متتالية

نهاية المتتالية هي القيمة التي تتقارب إليها قيم أعضاء هذه المتتالية. وإذا كانت قيم أعضاء المتتالية تتقارب إلى قيمة محددة نقول أن تلك المتتالية "منتهية".

إذا كانت المتتالية منتهية فتوجد لها نهاية، أما إذا كانت المتتالية غير منتهية (مثل متتالية الأعداد الطبيعية) فلا توجد لها نهاية.

و كما توجد نهايات لبعض الدوال فإنه توجد أيضا نهايات لبعض المتتاليات.

دراسة نهايات المتتاليات مهمة لأنها تسمح بدراسة متتاليات الدالات في فضاء متجهات وهذا مهم في حل المعادلات التفاضلية الجزئية.

تعريف شكلى

صيغة ١

ملف:Euler.sequence.ar.png

متتالية أويلر

نقول أن هناك نهاية وقيمتها ل   للمتتالية س_ن

إذا تواجد لكل قيمة   هـ > ٠

عدد حقيقى ع

بحيث أن   |س_ن - ل|<هـ   لكل   س > ع، ونكتب

نها_{س ← ∞} س_ن = ل

و هذا فقط إذا كانت المتتالية منتهية أما إذا لم تكن منتهية فلا نهاية لها.

على سبيل المثال يظهر في الشكل رسم بياني لدالة مطابقة للمتتالية {س _ن} = (١+١/ن)^ن وهي نهاية منتهية ونهايتها

نها _{ن ← ∞} {سن_{} == نها س ← ∞ (1+1/ن)^ن == ٢٫7١٨٢٨١٨}

يمثل الخطان القرمزى والبرتقالى مسافة هـ من قيمة المتتالية عند نقطة (ن، س_ن).

صيغة ٢

لنفرض وجود x₁, x₂,... بشكل متتالية من العناصر في الفضاء الطوبولوجي T. نقول أن Lالمتمية ل;T هي نهاية هذه المتساسلة ونكتب

نها_{س ← ∞} س _ن = ل

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=L$

إذا وفقط إذا كان :

من أجل كل جوار S من L يوجد هناك رقم N بحيث x_n ينتمي ل;S من أجل كل قيمة ل n>N.

خواص نهايات المتتاليات

إذا كانت أ_ن وب_ن متتاليتين لكل ن ← ∞ ونها أ_ن == ح ونها ب_ن == د وك أي عدد حقيقى :

1. نها _{س ← ∞} (أ_ن + ب_ن) = ح + د
2. نها _{س ← ∞} (أ_ن - ب_ن) = ح - د
3. نها _{س ← ∞} (أ_ن · ب_ن) = ح · د
4. نها _{س ← ∞} (ك · أ_ن) = ك · ح
5. نها _{س ← ∞} (أ_ن ÷ ب_ن) = ح ÷ د

و يجدر بنا ملاحظة تطابق خواص نهايات المتتاليات مع مثيلاتها من خواص نهايات الدالات وكذلك خواص الاشتقاقات.

أنواع المتتاليات

تنقسم المتتابعات إلى قسمين :

1- متتابعات حسابية..

ويستعمل فيها القانون التالي لإيجاد الحد النوني فيها

ح ن = أ + (ن-1) د

حيث أ هو حد المتتابعة الأول ود هو الفرق العام بين حدود المتتابعة ،, واليكم هذا المثال : المتتابعة :

1 ،-3 ،-7، -11,.... أوجد الحد العشرين فيها

أ + 1

وحتى نحصل على د نطرح كل حد من سابقة كالتالي..

-11 -(-7) ====> -11+7 = -4

اذن د = -4

ن == 20 ===> الحد المطلوب (الحد النوني)

والآن نطبق القانون السابق :

ح20 = 1 + (20-1)-4
    = 1 + (19)-4
    = 1 -76
    = -75

2- المتتابعات الهندسية..

يستعمل القانون التالي لإيجاد الحد النوني فيها

ح ن = أ ر(أس) ن-¹

حيث أ : هي الحد الأول

ر: هي الفرق العام ====> غير الرمز هنا لتمييز المتتابعة الهندسية من الحسابية.

ن : هي عدد الحدود (أو الحد المطلوب)

واليكم هذا المثال :

المتتابعة 3، 6، 12 ،24.....

اوجد الحد الخامس فيها :

نقول هنا :

أ = 3

ن = 5

حتى نستنتج ر نقوم بما يلي :

نقسم كل حد على سابقه..

24            12
——  =2  ،    ——  = 2
12             6 

وهكذا نستنتج ان ر = 2

وبتطبيق القانون :

ح ن = أ ر(أس) ن-¹
 ح5 = 3 × 2 (أس) 4
    = 3 ×16
    =  48

اذن الحد الخامس يساوي 48

ــ

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

bs:Granična vrijednost niza cs:Limita posloupnosti de:Grenzwert (Folge) el:Όριο ακολουθίας Limit of a sequence]] es:Límite de una sucesión et:Jada piirväärtus fr:Limite de suite he:גבול של סדרה it:Limite di una successione ko:수열의 극한 lt:Sekos riba nl:Limiet van een rij pl:Granica ciągu pt:Limite de uma sequência ro:Limită a unui șir ru:Предел последовательности sl:Limita zaporedja uk:Границя числової послідовності zh:收敛数列