ميكانيك هاملتوني

الميكانيك الهاميلتوني Hamiltonian mechanics هو إعادة صياغة للميكانيك الكلاسيكي تم إيجاده من قبل ويليام روان هاميلتون عام 1833. نشأ ميكانيك هاميلتون من ميكانيك لاغرانج ، وهو صياغة أخرى للميكانيك الكلاسيكي أوجده جوزيف لويس لاغرانج Joseph Louis Lagrange عام 1788. لكن بجميع الحوال يمكن اشتقاق ميكانيك هاملتون دون الرجوع لميكانيك لاغرانج باستخدام الفضاءات السمبلكتية symplectic spaces.

إعادة صياغة ميكانيك لاغرانج

اعتمادا على ميكانيك لاغرانج ، تكون معادلات الحركة المستندة على الإحداثيات المعممة

$\{q_j|j=1,...,N\}.$

والتي تطابق السرعات :

$\{{\dot{q}}_j|j=1,...,N\}.$

يمكن لنا كتابة اللاغرانجي

$L(q_j,{\dot{q}}_j,t),$

يهدف ميكانيك الهاميلتوني إلى استبدال متغيرات السرعة المعممة بمتغيرات العزم المعممة أو ما يدعى بالعزم المقترن أو المقابل (conjugate) :

من أجل كل سرعة معممة هناك ما يقابلها من العزم المقترن الذي يكتب كما يلي :

$p_j=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_j}.$

في جملة إحداثيات ديكارتية, العزم المعمم هو بالضبط العزم الفيزيائي الخطي . أما في جملة إحداثيات قطبية فإن العزم المعمم المقابل للسرعة الزاوية يصبح العزم الزاوي ، في جملة احداثية افتراضية توجد صياغات أخرى لإيجاد العزم المعمم .

الهاميلتوني هو عبارة :

$H(q_j,p_j,t)=\sum _i{\dot{q}}_i{p}_i-L(q_j,{\dot{q}}_j,t).$

إذا كانت معادلات التحويل المعرفة للإحداثيات المعممة مستقلة عن الزمن t ، فيمكن أن نقول ان الهاميلتوني H مساو للطاقة الكلية E = T + V.

كل طرف من تعريف الهاميلتوني of H ينتج تفاضلا :

$\begin{array}{ccc}dH& =& \sum _i[\left(\frac{\partial H}{\partial q_i}\right)d{q}_i+\left(\frac{\partial H}{\partial p_i}\right)d{p}_i]+\left(\frac{\partial H}{\partial t}\right)dt\\ \\ & =& \sum _i[{\dot{q}}_{i}d{p}_i+p_{i}d{\dot{q}}_i-\left(\frac{\partial L}{\partial q_i}\right)d{q}_i-\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\right)d{\dot{q}}_i]-\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)dt.\end{array}$

باستبدال التعريف السابق للعزم المقترن ضمن المعادلة ومطابقة معاملات المعدلة ، نستخرج قوانين الحركة في الميكانيك الهاميلتوني

$\frac{\partial H}{\partial q_j}=-{\dot{p}}_j,\frac{\partial H}{\partial p_j}={\dot{q}}_j,\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}.$

معادلات هاميلتون تشكل معادلات تفاضلية من المرتبة الأولى ، لذا هي أسهل حلا من معادلات لاغرانج التي تعطي معادلات تفاضلية من المرتبة الثانية. لكن العمليات التي تقود إلى معادلات الحركة أكثر صعوبة فبداية علينا البدء من الإحداثيات المعممة وميكانيك لاغرانج لنقوم بتشكيل الهاميلتوني ، ثم علينا تحويل كل قيمة لسرعة معممة إلى عزم مقترن ، لنقوم بعد ذلك باستبدال السرع المعممة في الهاميلتوني بقيم العزم المقترن.

bg:Хамилтонова механика ca:Formulació hamiltoniana cs:Hamiltonovská formulace mechaniky de:Hamiltonsche Mechanik Hamiltonian mechanics]] es:Mecánica hamiltoniana fa:مکانیک هامیلتونی fi:Hamiltonin mekaniikka fr:Mécanique hamiltonienne gl:Mecánica hamiltoniana id:Mekanika Hamiltonan it:Meccanica hamiltoniana ja:ハミルトン力学 ko:해밀턴 역학 ml:ഹാമിൽട്ടോണിയൻ ബലതന്ത്രം nl:Hamiltonformalisme no:Hamiltonmekanikk pt:Mecânica hamiltoniana ro:Mecanică hamiltoniană ru:Гамильтонова механика sq:Mekanika e Hamiltonit uk:Механіка Гамільтона zh:哈密顿力学