متجه

ملف:Crossproduct.png

الشكل 1

في الرياضيات، وبشكل خاص في التحليل الشعاعي، المُتّجِه هو سهم يتجه من نقطة إلى أخرى. يتحدد كل شعاع في الرياضيات بثلاث عناصر : شدة الشعاع، وهي كمية قياسية تدل على طول الشعاع، اتجاه الشعاع يمكن تحديده في فضاء ثلاثي الأبعاد عن طريق زوايا اويلر، ونقطة التطبيق وهي النقطة التي ينطلق منها الشعاع. ومع أن الشعاع يوصف بدلالة أرقام بعضها تعتمد على نوع جملة الإحداثيات، فإن الشعاع أو المتجة كما يسمى أيضًا لا يعتمد على جملة الإحداثيات.

المثال المشهور للأشعة هو القوة الفيزيائية، فهي تملك شدة واتجاه في فضاء ثلاثي الأبعاد ونقطة تطبيق، كما تتبع قاعدة جمع الأشعة (حسب قاعدة متوازي الأضلاع) عندما نريد جمع قوى متعددة.

تمثيل المتجهات

ملف:Vector from A to B.svg

سهم المتجه من A إلى B.

يشار إلى المتجهات عادة بحروف صغيرة ثخينة، مثل a أو مائلة أيضا مثل a (تمثل الحروف الكبيرة عادة المصفوفات). كما يصطلح على كتابتها $\overrightarrow{a}$ أو a عند كتابتها باليد. إذا كان المتجه يمثل إزاحة من النقطة A إلى النقطة B كما في الشكل، يرمز عندها له بـ $\overrightarrow{AB}$ أو AB. يستخدم رمز القبعة (^) للإشارة إلى متجهات الوحدة، كما في $\hat{\mathit{a}}$.

تظهر المتجهات في المخططات والرسومات كأسهم (قطع مستقيمة موجهة)، كما هو موضح في الشكل. تسمى هنا النقطة A المبدأ، وتسمى النقطة B الرأس. يتناسب طول السهم مع مقدار المتجه، بينما يشير اتجاه السهم إلى اتجاه المتجه.

ملف:Notation for vectors in or out of a plane.svg

ونحتاج في المخططات ثنائية البعد إلى ترميز المتجه بدوائر صغيرة (كما في الشكل جانبا)، حيث تكون بعض المتجهات عمودية على مستوي المخطط. يرمز للمتجه بنقطة داخل دائرة صغيرة عندما يكون المتجه متجها خارج المخطط باتجاه المشاهد. بينما يرمز له بدائرة مرسوم في داخلها إشارة الضرب عندما يكون المتجه متجها إلى داخل المخطط. ويمكن تذكرها باعتبار النقطة هي منظر لرأس السهم، وإشارة الضرب هي منظر لذيل السهم (الريشة).

ملف:Position vector.svg

متجه في نظام إحداثي ديكارتي، يوضح موضع النقطة A مع الإحداثيات (2،3)

ملف:3D Vector.svg

قد يكون التمثيل البياني من أجل حساب المتجهات متعبًا ومعقدًا. فالمتجهات في الفضاء الإقليدي متعدد الأبعاد يمكن أن تمثل في نظام إحداثي ديكارتي. يمكن تعيين نهاية المتجه بوضعها في قائمة مرتبة من الأعداد الحقيقية.

وكمثال في الفضاء ثنائي الأبعاد (الشكل جانبا)، يكتب الشعاع المتجه من مبدأ الإحداثيات O = (0,0) إلى النقطة A = (2,3) بالشكل

$\mathbf{a}=(2,3).$

في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد (أو ${\mathbb{ℝ}}^3$)، تعرف المتجهات بثلاثة أرقام تمثل الإحداثيات الديكارتية لنقطة النهاية (a,b,c):

$\mathbf{a}=(a,b,c).$

توضع هذه الأعداد غالبا في متجه عمود أو متجه سطر، وخصوصا عندما نتعامل مع المصفوفات، كالتالي:

$\mathbf{a}=\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\\ \end{array}\right]$

$$\begin{gathered} \mathbf{a}=[a \\ b \\ c]. \end{gathered}$$

الطريقة الأخرى لتمثيل المتجه في الفضاء ثلاثي الأبعاد هي باستخدام متجهات الوحدة الأساسية الثلاث:

$$\begin{gathered} {\mathbf{e}}_1=(1,0,0), \\ {\mathbf{e}}_2=(0,1,0), \\ {\mathbf{e}}_3=(0,0,1). \end{gathered}$$

وفق هذا الاصطلاح، يكتب أي متجه في الفضاء الشعاعي ثلاثي الأبعاد ${\mathbb{ℝ}}^3$ بالشكل:

$(a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)=a{\mathbf{e}}_1+b{\mathbf{e}}_2+c{\mathbf{e}}_3.$

في دروس الفيزياء التمهيدية، تستبدل هذه المتجهات الثلاث بـ $\mathit{i},\mathit{j},\mathit{k}$ (أو $\hat{\mathit{x}},\hat{\mathit{y}},\hat{\mathit{z}}$)، ولكن تعارض هذه التسمية مع دليل الترميز (Index notation) واصطلاح تجميع (summation convention) المستخدمين في المستويات المتقدمة في الرياضيات، والفيزياء والهندسة.

خصائص أساسية

المقطع التالي يستخدم نظام إحداثي ديكارتي مع متجهات وحدة أساسية

$$\begin{gathered} {\mathbf{e}}_1=(1,0,0), \\ {\mathbf{e}}_2=(0,1,0), \\ {\mathbf{e}}_3=(0,0,1) \end{gathered}$$

ويفترض أن جميع المتجهات تبدأ من مركز الإحداثيات O. يكتب المتجه a على الوجه التالي:

$\mathbf{a}=a_1{\mathbf{e}}_1+a_2{\mathbf{e}}_2+a_3{\mathbf{e}}_3.$

تساوي المتجهات

يقال عن متجهين أنهما متساويان إذا كان لهما نفس المقدار والاتجاه. وعلى هذا الوجه تكون المتجهات متساوية إذا تساوت إحداثياتها. فالمتجهين:

$\mathbf{a}=a_1{\mathbf{e}}_1+a_2{\mathbf{e}}_2+a_3{\mathbf{e}}_3$

و

$\mathbf{b}=b_1{\mathbf{e}}_1+b_2{\mathbf{e}}_2+b_3{\mathbf{e}}_3$

متساويين إذا تحقق

$a_1=b_1,a_2=b_2,a_3=b_3.$

جمع المتجهات وطرحها

ليكن

a=a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃
و
b=b₁e₁ + b₂e₂ + b₃e₃,

حيثe₁،e₂، e₃ هي متجهات الوحدة متعامدة.

ملف:Vector addition.svg

الشكل 2: جمع المتجهات

إن مجموع a وb هو:

$\mathbf{a}+\mathbf{b}=(a_1+b_1){\mathbf{e}}_{\mathbf{1}}+(a_2+b_2){\mathbf{e}}_{\mathbf{2}}+(a_3+b_3){\mathbf{e}}_{\mathbf{3}}.$

ويمكن تمثيل جمع المتجاهات بشكل بياني بوضع بداية المتجه b عند نهاية المتجه a، ثم رسم متجه من بداية المتجه a إلى نهاية المتجه b. يمثل المتجه الجديد المرسوم a + b، كما هو مبين في الشكل 2.

تسمى طريقة الجمع هذه بقاعدة متوازي الأضلاع، لأن a وb يشكلان أضلاع متوازي الأضلاع.

طرح a وb هو:

$\mathbf{a}-\mathbf{b}=(a_1-b_1){\mathbf{e}}_{\mathbf{1}}+(a_2-b_2){\mathbf{e}}_{\mathbf{2}}+(a_3-b_3){\mathbf{e}}_{\mathbf{3}}$

يمكن تمثيل طرح الأشعة بيانيًا أيضًا كما يلي: لطرح b من a، نضع نهاية a وb عند نفس النقطة، ثم يرسم سهم من نهاية b إلى نهاية a. يمثل هذه المتجه الجديد a − b، كما هو موضح في الشكل 3.

ملف:Vector subtraction.svg

الشكل 3: طرح المتجهات a وb

مراجع

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

am:ጨረር az:Vektor be:Вектар, матэматыка be-x-old:Вэктар bg:Вектор bn:সদিক রাশি ca:Vector (matemàtiques) cs:Vektor da:Vektor (geometri) de:Vektor el:Διάνυσμα Euclidean vector]] eo:Vektoro es:Vector (espacio euclídeo) et:Vektor eu:Bektore (fisika) fa:بردار اقلیدسی fi:Vektori fr:Vecteur gd:Bheactor gl:Vector he:וקטור (פיזיקה) hi:सदिश राशि hr:Vektor ht:Vektè hu:Vektor id:Vektor (spasial) io:Vektoro is:Vigur (stærðfræði) it:Vettore (matematica) ja:空間ベクトル ka:ვექტორი kk:Вектор ko:벡터 (물리) lt:Vektorius lv:Vektors mhr:Вектор mk:Вектор ml:സദിശം (ജ്യാമിതി) ms:Vektor nds:Vekter nl:Vector (wiskunde) nn:Vektor no:Vektor (matematikk) pl:Wektor pt:Vetor (matemática) ro:Vector (fizică) ru:Вектор (математика) scn:Vettura euclideu sk:Vektor (matematika) sl:Vektor (matematika) sq:Vektori sr:Вектор sv:Vektor ta:திசையன் tk:Wektor ululyklar tr:Vektör uk:Вектор vi:Vectơ yi:וועקטאר zh:矢量 zh-min-nan:Hiòng-liōng