نظرية الترتيب

نظرية الترتيب هي ذلك الفرع من الرياضيات والذي يهتم بدراسة الأنواع المختلفة من العلاقات الثنائية التي تعطي انطباعا حسّياً عن فكرة ترتيبها موفرة بنية يمكن القول من خلالها متى يكون الشيئ "أقل من" أو "يسبق" الآخر.

تدرس نظرية الترتيب مختلف أنواع العلاقات الثنائية بين العناصر الرياضية المختلفة التي ترمز ترتيب هذه العناصر.

مقدمة للتعريفات الأساسية

تعريف

العلاقة $\mathrm{\Re }$ في المجموعة $E$ هي علاقة ترتيب إذا وفقط إذا كانت في نفس الوقت انعكاسية، غير تماثلية وعلاقة تعدي.

و بعبارة رياضية:

• $$\begin{gathered} \mathrm{\forall }x\in E, \\ x{ℛ}x \end{gathered}$$
• $$\begin{gathered} \mathrm{\forall }x\in E,\mathrm{\forall }y\in E, \\ [(x{ℛ}y)\wedge (y{ℛ}x)]\Rightarrow [x=y] \end{gathered}$$
• $$\begin{gathered} \mathrm{\forall }x\in E,\mathrm{\forall }y\in E,\mathrm{\forall }z\in E, \\ [(x{ℛ}y)\wedge (y{ℛ}z)]\Rightarrow [x{ℛ}z] \end{gathered}$$

المجموعات المرتبة جزئيا

الترتيب عادة ما يعبر عنه في الكثير من الحالات بعلاقة ثنائية خاصة. فلو اعتبرنا مجموعة P والعلاقة ≤ على P. عندئذ يكون ≤ ترتيب جزئي إذا كانت انعكاسية، متناظرة عكسيا antisymmetric، متعدية، أي :

من أجل aوb وc من المجموعة P سيكون لدينا :

a ≤ a (انعكاسية)

إذا كان a ≤ b وb ≤ a عندئذ a = b (تناظر معاكس)

إذا كان a ≤ b وb ≤ c عندئذ a ≤ c (متعدية)

المجموعة المزودة بترتيب جزئي تدعى مجموعة مرتبة جزئيا (partially ordered set أو poset) وأحيانا "مجموعة مرتّبة" ordered set إذا كان معنى التريب في السياق واضحا. بتفحص هذه الخواص سنجد ان التريب الموجود في جميع مجموعات العداد الطبيعية والصحيحة والمنطقية والحقيقية جميعها مرتبة بهذا النفهوم للتريب الجزئي. إلا أنها تملك صفة إضافية تجعل ترتيبها كاملا :

إذا كان a وb عنصرين متمايزين في P :

a ≤ b or b ≤ a (كلانية totality)

هذه التراتيب تدعى ترتيب خطي أو سلاسل. في الحقيقة الكثير من علاقات التريب الكلاسيكية هي ترتيبات خطية، يشكل ترتيب المجموعة الجزئية على المجموعات إحدى الحالات التي لا تشكل ترتيب خطي

عناصر خاصة ضمن الترتيب

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

Order theory]] es:Teoría del orden et:Järjestus fr:Relation d'ordre he:סדר חלקי io:Relaciono di rango it:Teoria degli ordini ms:Teori tertib nl:Ordetheorie pl:Częściowy porządek ru:Отношение порядка tr:Sıralamalar uk:Відношення порядку zh:序理论