متوسط هندسي

في الرياضيات، إنّ المتوسط الهندسي هو نوع من المتوسطات أو المعدّلات التي تقيس النزعة المركزية أو القيمة النموذجية لمجموعة معطيات. ويشبه المتوسط الهندسي نظيره، المتوسط الحسابي، وهو ما يخطر ببال معظم الناس عندما يفكرون بكلمة "متوسّط"، إلا أنّه بدلاً من أن يتم جمع القيم في المجموعة والقسمة على عدد الحدود فيها، يتم حساب الجذر الـn لحاصل ضرب حدود المجموعة، حيث n هو عدد الحدود.

على سبيل المثال، فإنّ المتوسط الهندسي للعددين 2 و8 ما هو إلاّ الجذر التربيعي لحاصل ضربهما (16)، أي 4. وفي مثال آخر، فإنّ المتوسط الهندسي للأعداد 1 و2/1 و4/1 هو الجذر التكعيبي لحاصل ضربهم (0.125)، أي 2/1.

وتأتي تسمية المتوسط الهندسي من ما يلي: إنّ المتوسط الهندسي لعددين، a وb يعادل طول ضلع مربع تساوي مساحته مساحة مستطيل أطوال ضلعيه هما a وb، أي ما هو الـg الذي يحقّق $g^2=a\cdot b$. وبشكل مماثل، فإنّ المتوسط الهندسي لثلاثة أعداد هي a وb وc يعادل طول ضلع المكعب الذي يساوي حجمه حجم متوازي مستطيلات أطوال أضلاعه هي a وb وc.

إنّ المتوسط الهندسي معرّف فقط لمجموعة أعداد فيها كل الحدود موجبة. كما ويستخدم غالبًا في الحالات التي تكون فيها المعطيات هي قيمًا من المفروض أن تضرب بعضها ببعض، أو تلك المعطيات ذات الطابع الأسي، كالنمو الأسي لمجموعات سكانية، أو لحساب نسبة الفائدة المعدلة على مر عدة سنين. وإنّ المتوسط الهندسي هو واحد من المتوسطات البيثاغورية الثلاثة، بالإضافة إلى المتوسط الحسابي والمتوسط التوافقي.

حساب

يتم حساب المتوسط الهندسي لمجموعة معطيات $[a_1,\dots ,a_n]$ بواسطة:

$(\prod _{i=1}^n{a}_i{)}^{1/n}=\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdots a_n}.$

وإذا ما أردنا حساب المتوسط الهندسي لمجموعة آخذة بالكبر، سيكون المتوسط الهندسي بعد الحصول على الحد الـn هو:

${\overline{a}}_{n+1}=\sqrt[n+1]{{\overline{a}}_n^n\cdot a_{n+1}}$

حيث ${\overline{a}}_k$ هو المتوسط الهندسي للحدود $a_1,\dots ,a_k$.

خواص

• وفق متراجحة المعدلات، فإنّ المتوسط الهندسي للمجموعة دائمًا أصغر من أو مساوٍ للمتوسط الحسابي للمجموعة، وأكبر من أو مساوٍ للمتوسط التوافقي:

$\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\dots +\frac{1}{a_n}}\le (a_1\cdots a_n{)}^{1/n}\le \frac{a_1+\dots +a_n}{n}$

ويكون التعادل فقط إذا كانت جميع الحدود في المجموعة متساوية.

أنظر أيضًا

• متوسط حسابي
• متوسط توافقي
• متراجحة المعدلات

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

هذه بذرة مقالة عن الرياضيات تحتاج للنمو والتحسين، فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.

be-x-old:Сярэдняе геамэтрычнае bg:Средно геометрично bs:Geometrijska sredina ca:Mitjana geomètrica cs:Geometrický průměr da:Geometrisk gennemsnit de:Geometrisches Mittel Geometric mean]] eo:Geometria meznombro es:Media geométrica eu:Batezbesteko geometriko fa:میانگین هندسی fi:Geometrinen keskiarvo fr:Moyenne géométrique gl:Media xeométrica hi:ज्यामितीय माध्य hr:Geometrijska sredina hu:Mértani közép ja:幾何平均 ko:기하 평균 lt:Geometrinis vidurkis nl:Meetkundig gemiddelde no:Geometrisk gjennomsnitt pl:Średnia geometryczna pms:Media geométrica pt:Média geométrica ro:Medie geometrică ru:Среднее геометрическое sh:Geometrijska sredina sk:Geometrický priemer sl:Geometrična sredina sr:Geometrijska sredina sv:Geometriskt medelvärde ta:பெருக்கல் சராசரி tr:Geometrik ortalama ur:ہندسی اوسط vi:Trung bình nhân zh:几何平均数