دالة محدبة

ملف:Convfunc1.PNG

الدالة بالأزرق هي دالة محدّبة على طول محور الأعداد الحقيقية: كل مستقيم يصل بين أي نقطتين على الرسم البياني للدالة يقع فوق الرسم البياني للدالة.

تدعى دالة رياضية (بمتغير واحد) دالة محدّبة في مقطع ما إذا كان الخط المستقيم الذي يصل بين أي نقطتين على الرسم البياني للدالة في هذا المقطع يقع فوق الرسم البياني للدالة نفسها. على سبيل المثال فإنّ الدالّة $f\left(x\right)=x^2$ هي دالة محدّبة على طول محور الأعداد الحقيقية، كما يظهر في الرسم. وتجدر الإشارة إلى أنّ مفهوم التحدب والتقعر قد يكون عكس المفهوم اللغوي أو التصويري (فقد يظن البعض أن شكل الرسم البياني هو مقعر وليس محدب).

بالإمكان تطوير تعريف الدالة المحدبة ليشمل دوال بأكثر من متغير واحد، بل وأي دالة ذات قيم حقيقية معرّفة في نطاق يشكل مجموعة محدبة في فضاء اتجاهي ما.

للدوال المحدّبة استعمالات عديدة وهامّة، خاصة في مجالات التحليل الدالي والاستمثال المحدب، وتظهر في عدة متراجحات مهمّة، منها متراجحة ينسن.

تعريف

إنّ الدالة ذات القيم الحقيقية $f\left(x\right)$ تدعى دالة محدبة إذا تحقّق لكل نقطتين $x$ و$y$ في نطاق الدالة C ولكل $\lambda$ في المجال [0,1] ما يلي:

$f(\lambda x+(1-\lambda )y)\le \lambda f\left(x\right)+(1-\lambda )f\left(y\right)$

هذا وتدعى الدالة $f$ محدبة تمامًا إذا تحقّق:

$f(\lambda x+(1-\lambda )y)<\lambda f\left(x\right)+(1-\lambda )f\left(y\right)$

لكل $\lambda$ في المجال (0,1) ولكل $x\le y$.

أمّا إذا كانت الدالة $-f\left(x\right)$ هي دالة محدبّة فتدعى الدالة $f$ دالة مقعرة.

ويظهر تفسير كون الدالة أحادية المتغير محدّبة إذا كان الخط المستقيم الذي يصل بين أي نقطتين على رسمها البياني يقع فوق الرسم البياني، يظهر من المتراجحة أعلاه، إذ أنّه إذا كانت $z=\lambda x+(1-\lambda )y$ هي نقطة تقع بين x وy (تذكير: $\lambda \in [0,1]$)، فإنّ:

$g\left(z\right)=\lambda f\left(x\right)+(1-\lambda )f\left(y\right)$،

حيث أنّ $g$ هي معادلة الخط المستقيم (أي $g\left(x\right)=f\left(x\right)$ و$g\left(y\right)=f\left(y\right)$).

خواص تحليلية

• إذا كانت f وg دالتين محدّبتين، فإنّ الدالتين: $m(x)=\max \{f(x),g(x)\}$ و$h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ هما محدبتان كذلك؛
• إذا كانت f وg دالتين محدّبتين، وكانت $g$ دالة غير تنازلية، فإنّ $h\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)$؛
• تحدّب الدالة لا يتغير إثر تحويلات أفينيّة على المتغيّر، أي أنّه إذا كانت f هي دالة محدبة وكان $x\in {\mathbb{ℝ}}^n$، فإنّ $g\left(y\right)=f(Ay+b)$ هي دالة محدبة، حيث $b\in {\mathbb{ℝ}}^n$، $y\in {\mathbb{ℝ}}^m$، $A\in {\mathbb{ℝ}}^{n\times m}$؛

أمثلة

• الدالة $f\left(x\right)=x^2$ هي دالة محدبة تمامًا إذ أنّ المشتق الثاني للدالة موجب لكل x: $f{}^{″}\left(x\right)=2>0$.

• إنّ المشتق الثاني للدالة $f\left(x\right)=x^3$ هو $6x$ أي أنّه غير سالب في المجموعة $\{x\ge 0\}$، ولذا فإنّ f محدّبة هناك، وغير موجب في المجموعة $\{x\le 0\}$، أي أنّ الدالة مقعرة هناك.

أنظر أيضًا

• دالة مقعرة
• مجموعة محدبة
• استمثال محدب
• متراجحة ينسن

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

هذه بذرة مقالة عن الرياضيات تحتاج للنمو والتحسين، فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

ca:Funció convexa cs:Konvexnost a konkávnost funkce da:Konveks de:Konvexe und konkave Funktionen Convex function]] es:Función convexa fi:Konveksi funktio fr:Fonction convexe gl:Función convexa he:פונקציה קמורה hu:Konvex és konkáv függvény it:Funzione convessa ja:凸関数 ko:볼록함수 nl:Convexe functie pl:Wypukłość funkcji pt:Função convexa ru:Выпуклая функция sk:Konvexná funkcia sl:Konveksna funkcija sv:Konvex funktion uk:Опукла функція ur:محدب دالہ zh:凸函数