تحويل لابلاس

تحويل لابلاس عملية تجرى على الدوال الرياضية لتحويلها من مجال إلى آخر، وعادة يكون التحويل من مجال الزمن إلى مجال التردد، وهو شبيه بتحويل فوريي إلا أنه تم تطويرهما بشكل مستقل. وتحويل لابلاس مفيد في تحليل النظم الخطية (بخلاف تحويل فوريي الذي يستخدم عادة في تحليل الإشارات)، كما يستخدم لحل المعادلات التفاضلية لأنه يحولها إلى معادلات جبرية. وسمي التحويل بهذا الاسم نسبة إلى العالم الفرنسي لابلاس الذي عاش في القرن التاسع عشر.

مقدمة

إذا رمزنا ب t للزمن
واعتبرنا s عددا مركبا
فإن تحويل لابلاس الذي نرمز له هنا ب L هو تبسيطا عملية تحول إشارة أو دالة من دالة بمتغير هو الزمن إلى دالة بمتغير هو التردد.أما الأصح هو أنها عملية أي operator تحول دالة بمتغير قيمته عدد حقيقي أي real number إلى دالة بمتغير ذا قيمة معقدة أي complex number.
$f(t{)}_{{\leftarrow }_l}^{{\to }^L}F(s)$
و دالة التحويل L أي التي تحول دالة بمتغيير هو الزمن إلى دالة بمتغيير هو التردد يمكن حسابها على النحو الآتي:

$L\{f(t)\}=F(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-st}dt$
و كما يوجد تحويل لابلاس فإنه يوجد تحويل لابلاس معاكس رمزت له هنا ب l وهو يقوم بالتحويل العكسي لتحويل فوريي أي من دالة بمتغير قيمته معقدة إلى دالة بمتغير قيمته حقيقية. ويمكن حساب هذه العملية على النحو التالي:

=$l\{F(s)\}=\frac{1}{2\mathrm{\Pi }j}\underset{c-j\mathrm{\infty }}{\overset{c+j\mathrm{\infty }}{\int }}F(s)e^{st}ds$

بعض الدالات ومقابلها في تحويل لابلاس

$f(x)=\frac{1}{2\pi j}\underset{c+j\mathrm{\infty }}{\overset{c-j\mathrm{\infty }}{\int }}F(s)e^{st}ds$	$F(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-st}dt$
$\delta (t)$	$1$
$h(t)$	$\frac{1}{s}$
$t^n$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
$t^n{e}^{-at}$	$\frac{n!}{(s+a{)}^{n+1}}$
$\cos w_{0}t$	$\frac{s}{s^2+w_0^2}$
$\sin w_{0}t$	$\frac{w_0}{s^2+w_0^2}$
$e^{-at}\cos w_{0}t$	$\frac{s+a}{(s+a{)}^2+w_0^2}$
$e^{-at}\sin w_{0}t$	$\frac{w_0}{(s+a{)}^2+w_0^2}$
$t\cos w_{0}t$	$\frac{s^2-w_0^2}{(s^2+w_0^2{)}^2}$
$t\sin w_{0}t$	$\frac{2w_{0}s}{(s^2+w_0^2{)}^2}$

أهمية وفوائد تحويل لابلاس

تسهيل حل المعادلات التفاضلية

فلنعتبر مثلا المعادلة التفاضلية التالية:

$2\ddot{x(t)}+3\dot{x(t)}+4x(t)=f(t)$

مع اعتبار الحالة أو قيمة x في الزمن 0 أي أخذ ما يسمى بال initial conditions بعين الاعتبار:

$\dot{x(0)}=a$ و$x(0)=b$

إعطاء الحل مباشرة لهذه المعادلة (التي قد تكون مثلا معادلة جسم يقوم بحركة ما أي أنها نموذج عنه) قد يكون صعبا فما العمل? الحل هو تحويل المعادلة عن طريق تحويل لابلاس فتصير المعادلة كالاتي:

$2(s^{2}X(s)-sx(0)-\dot{x(0)})+3(sX(s)-x(0))+4X(s)=F(S)$

و ذلك عملا بالقاعدة التي تقول

و بذلك كل ما تبقى فعله الآن هو حل معادلة غير تفاضلية بسيطة وهي معادلة بولينوم من الدرجة الثانية.

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

--41.232.230.160 (نقاش) 12:56، 6 ديسمبر 2009 (ت‌ع‌م)

am:ላፕላስ ሽግግር bg:Трансформация на Лаплас bn:লাপ্লাস রূপান্তর bs:Laplaceova transformacija ca:Transformada de Laplace cs:Laplaceova transformace de:Laplace-Transformation Laplace transform]] eo:Laplaca konverto es:Transformada de Laplace fa:تبدیل لاپلاس fi:Laplacen muunnos fr:Transformée de Laplace gl:Transformada de Laplace he:התמרת לפלס hr:Laplaceova transformacija ia:Transformation de Laplace id:Transformasi Laplace it:Trasformata di Laplace ja:ラプラス変換 jv:Transformasi Laplace km:បំលែងឡាប្លាស ko:라플라스 변환 lt:Laplaso transformacija ml:ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനം nl:Laplacetransformatie nn:Laplace-transformasjon no:Laplacetransformasjon pl:Transformata Laplace'a pt:Transformada de Laplace ro:Transformată Laplace ru:Преобразование Лапласа simple:Laplace transform sl:Laplaceova transformacija sr:Лапласова трансформација su:Transformasi Laplace sv:Laplacetransform th:การแปลงลาปลาส tr:Laplace dönüşümü uk:Перетворення Лапласа vi:Phép biến đổi Laplace zh:拉普拉斯变换