عدد أولي

العدد الأولي هو عدد طبيعي أكبر قطعا من 1, يقبل القسمة على نفسه وعلى الواحد فقط. مجموعة الأعداد الأولية مجموعة غيرمنتهية. وقد برهن على ذلك أقليدس في حوالي عام 300 قبل الميلاد.

دراسة الأعداد الأولية جزء من دراسة نظرية الأعداد، حيث خضعت الأعداد الأولية لبحوث عديدة، مع ذلك تظل الكثير من الأسئلة الأساسية مثل فرضية ريمان وحدسية غولدباخ مسائل غير محلولة حتى الآن بالرغم من مرور أكثر من قرن على طرحها. السبب الأساسي يعود إلى عدم فهمنا لطريقة توزيع الأعداد الأولية، على عكس الأعداد الفردية أو الزوجية. لتحديد أولية عدد ما، توجد طريقة سهلة و لكنها بطيئة وتتمثل في قسمة هذا العدد علي الأعداد المحصورة بين 2 و الجذر المربع للعدد المعين.

بحلول عام 2011، تألف أكبر عدد أولي تم الوصول إليه من 13 مليون رقما.

الأعداد الأولية الأصغر من 100 هي : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

تاريخ الأعداد الأولية

تشير بعض السجلات التاريخية القديمة إلى معرفة قدماء المصريين لمفهوم الأعداد الأولية، مع ذلك يظل اليونانيون القدامى أول من أجرى دراسات جدية بشأن الأعداد الأولية كما سنرى بعد قليل. وقام عالم الرياضيات اليوناني إراتوستينس بدراسة الأعداد الأولية، ومع أننا لم نجد أيا من مخطوطاته، فقد أشار إليها علماء آخرون.

هل العدد 1 عدد أولي ؟

حتي القرن التاسع عشر، كان علماء الرياضيات يعتبرون 1 عددا أوليا، بما أن تعريف الأعداد الأولية كان آنذاك هو كل عدد لا يقبل القسمة إلا على 1 و على نفسه. و يقال أن عالم الرياضيات هنري ليون لوبيغ هو آخر عالم رياضيات اعتبر 1 أوليا.

خصائص الأعداد الأولية

• جميع الأعداد الأولية - عدا 2 و 5 - تنتهي ب 1 أو 3 أو 7 أو 9 لأن جميع الأعداد التي تنتهي ب 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8 هي من مضاعفات العدد 2 فليست بالتأكيد أولية ، و الأعداد التي تنتهي ب 5 هي من مضاعفات العدد 5 فليست أولية أيضاً.

• إذا كان a و b عددين صحيحين، و c عدد ثالث، حيث c عدد أولي. وكان جداء العددين (a × b) يقبل القسمة على العدد c، فإن "a" أو "b" يقبل القسمة على c. هذه الخاصية تعرف بمبرهنة إقليدس.

• أي عدد أولي أكبر من 3 يكتب على شكل 6k+1 أو 6k-1 حيث k عدد طبيعي.

• كل عدد صحيح n > 1 له قاسم أولي.

• إذا كان n عدداً مؤلفاً (غير أولي) فإن له قاسم أولي p أصغر أو يساوي الجذر التربيعي ل n.

• إذا كان الفرق بين عددين أوليين مساويا ل 2، فهذان العددان يسميان توأما أوليا. 5 و 7 من جهة و 11 و 13 من جهة ثانية, هما توأمان أوليان. (حدسية العددين الأوليين التوأم).

• يوجد عدد غير منته من الأعداد الأولية تتوزع بشكل غير منتظم ، ولكن لم يثبت أحد أن التوائم الأولية منتهية أو غير منتهية.

اختبارات أولية العدد

هناك أكثر من 15 اختبارا لمعرفة هل عدد معين أولي أم لا ومن بينها:

• اختبار ليكاس - ليهمر
• طريقة اريتاسثونيس
• اختبار فيرما المتربط بمبرهنة فيرما الصغرى

غربال اريتاسثونيس

ملف:Sieve of Eratosthenes animation.gif

خوارزمية بسيطة لعالم رياضيات اليونانية إراتوستينس لإيجاد جميع الأعداد الأولية حتى العدد 120. (انقر لرؤية الرسوم المتحركة).

تستعمل طريقة اريتاسثونيس لإيجاد الأرقام الأولية أقل من عدد صحيح معين. تقتضي هذه الطريقة كتابة كل الأعداد الأقل من العدد المعين (ص)، ومن ثم تعين رقم ط، ونبدأ بجعل ط=2، حاذفين كل مضاعفات ط حتى الرقم ص، ثم نجعل ط=3، ثم 4، 5، 6، الخ. نكمل هذه العملية حتى يصبح طxط أكبر من ص. كل الأرقام الباقية بعد الحذوفات هي أعداد أولية.

اختبار فيرما

مبرهنة فيرما الصغرى تبين أنه إذا كان p عددا أوليا وa عددا أوليا مع p, إذن :$$\begin{gathered} a^{p-1}\equiv 1 \\ (p) \end{gathered}$$

عكس المبرهنة خاطئ, مثلا 561=3×11×17 ليس عددا أوليا ومع ذلك بالنسبة لعدد a أولي مع 561, لدينا $$\begin{gathered} a^{560}\equiv 1 \\ (561) \end{gathered}$$

لكن يمكن مع ذلك كتابة:

إذا كان p غير أولي فإن $a^{p-1}$ متوافق مع 1 بترديد p لقيمة ما a

الشيء الذي يمثل عكس احتمالي للمبرهنة.

برمجة التشفير PGP, تستعمل هذه الخاصية لمعرفة إذا كانت الأعداد العشوائية التي يختارها أعداد أولية. إذا كان: $$\begin{gathered} 1\equiv 2^{x-1}\equiv 3^{x-1}\equiv 5^{x-1}\equiv 7^{x-1} \\ (x) \end{gathered}$$, فهذا يعني أن x عدد أولي احتمالي.

إذا أعطت إحدى المعادلات قيمة مخالفة ل1, في هذه الحالة x عدد غير أولي قطعيا.

أرقام عالمية

طالع أيضاً: أكبر عدد أولي

الجدول التالي يبين أكبر أعداد أولية تم تسجيلها عالميا

الترتيب

1 عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد معين ملف:PrimeNumberTheorem.png خارطة تصف π(n) (لون أزرق)، n / ln (n) (لون أخضر) و Li (n)، التكامل اللغواريتمي المزاح (لون أحمر) تعرف دالة حساب العدد الأولي π(n) بأنها عدد الأعداد الأولية حتى n. مثال ذلك π(11) = 5، وذلك لوجود خمسة أعداد أولية أصغر من أو تساوي العدد 11. توجد خوارزمات شهيرة لحساب القيم الدقيقة لـ π(n) أسرع من طريقة حسابها بشكل منفرد حتى n. يمكن إحصاء قيم قد تصل إلى π(1020) بسرعة عالية ودقة بواسطة الحواسيب المعاصرة. بالنسبة للقيم الكبيرة من n، والتي تتجاوز قدة الأجهزة الحديثة فإن مبرهنة العدد الأولي تعطينا تقديراً أولياً: π(n) تساوي تقريباً n/ln(n). بعبارة أخرى، عندما تصبح n عدد كبيراً جداً فإن احتمالية أن يكون العدد الأولي أقل من n تتناسب عكسياً مع عدد الأرقام المكونة ل n. أهمية واستخدامات الأعداد الأولية تستعمل الأعداد الأولية في ميدان المعلوميات وخاصة في علم التعمية. ومن أشهر التطبيقات التي تستعمل الأعداد الأولية نجد نظام التشفير RSA. لمزيد من المعلومات راجع التشفير ومشكلة التفكيك إلى جداء عوامل أولية. مصادر ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات. af:Priemgetal als:Primzahl an:Numero primero ang:Frumtæl arz:عدد اولى az:Sadə ədəd bat-smg:Pėrmėnis skaitlios be-x-old:Просты лік bg:Просто число bn:মৌলিক সংখ্যা br:Niver kentael bs:Prost broj ca:Nombre primer cs:Prvočíslo cy:Rhif cysefin da:Primtal de:Primzahl el:Πρώτος αριθμός Prime number]] eo:Primo es:Número primo et:Algarv eu:Zenbaki lehen fa:عدد اول fi:Alkuluku fr:Nombre premier ga:Uimhir phríomha gan:質數 gl:Número primo haw:Helu kumu he:מספר ראשוני hi:अभाज्य संख्या hr:Prost broj hsb:Primowa ličba ht:Nonm premye hu:Prímszámok hy:Պարզ թիվ id:Bilangan prima is:Frumtala (stærðfræði) it:Numero primo ja:素数 jbo:nalfendi kacna'u jv:Angka prima ka:მარტივი რიცხვი kn:ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ko:소수 (수론) ku:Hejmarên hîmî la:Numerus primus lb:Primzuel lmo:Nümar primm lt:Pirminis skaičius lv:Pirmskaitlis ml:അഭാജ്യസംഖ്യ mn:Энгийн тоо mr:मूळ संख्या ms:Nombor perdana nds:Primtall nl:Priemgetal nn:Primtal no:Primtall oc:Nombre primièr pl:Liczba pierwsza pms:Nùmer prim pnb:Prime number pt:Número primo ro:Număr prim ru:Простое число scn:Nùmmuru primu sh:Prost broj si:ප්‍රථමක සංඛ්‍යා simple:Prime number sk:Prvočíslo sl:Praštevilo sq:Numri i thjeshtë sr:Прост број sv:Primtal sw:Namba tasa szl:Pjyrszo nůmera ta:பகா எண் th:จำนวนเฉพาะ tl:Pangunahing bilang tr:Asal sayılar uk:Просте число ur:اولی عدد uz:Tub son vi:Số nguyên tố vls:Priemgetal war:Pangunahon nga ihap xal:Экн тойг yi:פרימצאל yo:Nọ́mbà àkọ́kọ́ zh:素数 zh-classical:質數 zh-min-nan:Sò͘-sò͘ zh-yue:質數