نظرية الزمر الأولية

المبرهنات الأولية حول الزمر

تعريف الزمرة

يمكن تعريف زمرة (G,*) :

G is a مجموعة و* عملية ثنائية تجميعية على G, تخضع للقواعد التالية (أو ما يدعى بدهيات):

1. (G,*) تملك انغلاقا. That is, إذا كان a وb ينتميان ل G, عندئذ يكون a*b من ضمن G أيضا

2. العملية * تجميعية, أي انه :، إذا كان a, b, وc عناصر من G, عندئذ يكون (a*b)*c=a*(b*c).

3. G تحوي عنصر حيادي, يرمز له غالبا ب e, أي أنه من اجل جميع قيم a من ضمن Gفإن :

e*a=a*e=a.

4. كل عنصر من الزمرة (G,*) له عنصر معاكس; إذا كانت a من G, عندئذ يوجد عنصر b ضمن بحيث يحقق :

a*b=b*a=e.

البدهيات 1 و 2 تنتجان بشكل تلقائي من تعريف العملية الثنائية التجميعية لذلك يمكن إهمالها عادة.

ويتحقق مبدأ الحذف للزمرة (G,*) من جهة اليمين واليسار أي : a*b=a*c b=c هذا من جهة اليسار b*a=c*a b=c هذا من جهة اليمين

وكذلك المعادلة الخطية من الدرجة الأولى إذا كان كل من a,b تنتمي إلى G a*x=b y*a=b لها حل وحيد في G

ويمكن القول عن الزمرة G أنها إبدالية إذا كانت العملية الثنائية المعرفة عليها * إبدالية . عند إذ يطلق على الزمرة زمرة أبلين : نسبة للعالم الذي اكتشفها .

في الزمرة G يوجد عنصر محايد وحيد e وكذلك معكوس وحيد a' اللذان يحققان العلاقات التالية : e*x=x*e=x a*a'=a'*a=e

مراجع

• Group Theory, W. R. Scott, Dover Publications, ISBN 0-486-65377-3

• Groups, C. R. Jordan and D. A. Jordan, Newnes (Elsevier), ISBN 0-340-61045-X