متسلسلة تايلور وماكلورين

مواضيع في الحسبان

المبرهنة الأساسية نهايات الدوال استمرارية مبرهنة القيمة المتوسطة حسبان تفاضلي  اشتقاق تغير المتغيرات تفاضل ضمني مبرهنة تايلور معدلات مرتبطة متطابِقات قواعد: قاعدة القوة، قاعدة الضرب، قاعدة ناتج القسمة، قاعدة التسلسل حسبان تكاملي  تكامل قائمة التكاملات تكاملات معتلة التكامل بواسطة: التجزيء، الأقراص، الطبقات الأسطوانية، التعويض، التعويضات المثلثية، الكسور الجزئية، تغيير الرتب حسبان المتجهات  تدرج تباعد التواء لابلاسي مبرهنة التدرج مبرهنة غرين مبرهنة ستوكس مبرهنة التباعد حسبان متعدد المتغيرات  حسبان المصفوفات اشتقاق جزئي تكامل متعدد تكامل خطي تكامل سطحي تكامل حجمي جاكوبي

مجموع تايلور أو متسلسلة تيلور (بالإنكليزية: Taylor series) هو عبارة عن متسلسلة تمكن المرء من كتابة دالة رياضية في شكل متسلسلة.

متسلسلة تايلور المنتهية

إذا إعتبرنا الدالة الرياضية (f(x قابلة للاشتقاق n مرة في النقطة $x_0$ فإنه يمكن كتابتها كما يلي:

$f(x)=T_n(x)+R_n(x)$

حيث $T_n(x)$ يدعى بمتسلسلة تايلور وتساوي:

$T_n(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^k(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k$

أو

$T_n(x)=f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{″}(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^k(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k$

و يمكن اعتبار متعدد الحدود $T_n(x)$ تقريبا للدالة f في النقطة $x_0$

متسلسلة تايلور اللامنتهية

إذا أخذنا المتسلسلة المنتهية لتايلور وعوضنا n بلانهاية فإننا نتحصل على متسلسلة لا منتهية هي بذاتها الدالة f أي أن الجزء $R_n(x)$ يصير صفرا والمتسلسلة تساوي الدالة في كل النقاط x.

$T_n(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^k(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k$

أو

$T_n(x)=f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{″}(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots$

متسلسلة ماكلورين

اذا كانت $x_0=0$ في متسلسلة تايلور, يمكن الحصول على متسلسلة أبسط للنشر بقرب الصفر وهي متسلسلة ماكلورين:

$T_n(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^k(0)}{k!}{x}^k$

أو

$T_n(x)=f(0)+\frac{f^{\prime }(0)}{1!}x+\frac{f^{″}(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^k(0)}{k!}{x}^k$

تطبيقات متسلسلة تايلور

لمتسلسلة تايلور عدة منافع لعل أهمها أنها تسمح بالتعبير عن أي دالة رياضية عن طريق كثير الحدود فيمكننا ذلك من إيجاد حلول تقريبية لمسألة ما إذا كان الحل الدقيق مستعصيا. كما تكتسي متسلسلة تايلور أهمية كبرى في الرياضيات الرقمية حيث تقوم العديد من الخوارزميات المعتمدة لحل المعادلات هناك على متسلسلة تايلور. يجدر بالإشارة أن كل التطبيقات العملية هي تطبيقات للمتسلسلة المنتهية مما يحتم أن نأخذ بعين الاعتبار الدقة التي نريد أن نصل إليها في حلنا لمعادلة ما. ففي حين أن نظام هبوط الطائرات الآلي يتحمل خطئا بين متر أو مترين في موقع الهبوط فإن موضع الرأس الذي يقرؤ المعطيات من إسطوانة لا يقبل إلا خطأ في حدود جزء من المليون من المتر.

بعض سلاسل ماكلورين لبعض الدوال المألوفة

طالع أيضاً: ملحق:قائمة المتسلسلات الرياضياتية

ملف:TaylorCosCos.png

الجزء الحقيقي من دالة جيب التمام في المستوى المركب.

ملف:TaylorCosPol.png

تقريب من الدرجة الثامنة لدالة جيب التمام في المستوى المركب.

فيما يلي بعضاً من منشورات ماكلورين. All these المتسلسلات مشروعة حتى في المستوى المركب لـ x.

الدالة الأسية:

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots \text{ for all }x$

اللوغاريتم الطبيعي:

$\log (1-x)=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n}\text{ for }-1\le x<1$

$\log (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n}\text{ for }-1<x\le 1$

متسلسلات هندسية محدودة:

$\frac{1-x^{m+1}}{1-x}=\sum _{n=0}^m{x}^n\text{ for }x=1\text{ and }m\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_0$

متسلسلات هندسية لانهائية:

$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n\text{ for }|x|<1$

متسلسلات هندسية لانهائية متنوعة:

$\frac{x^m}{1-x}=\sum _{n=m}^{\mathrm{\infty }}{x}^n\text{ for }|x|<1\text{ and }m\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_0$

$\frac{x}{(1-x{)}^2}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{x}^n\text{ for }|x|<1$

$\frac{1}{(1-x{)}^2}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{x}^{n-1}\text{ for }|x|<1$

الجذر التربيعي:

$\sqrt{1+x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n)!}{(1-2n)(n!{)}^2(4^n)}{x}^n=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2+\frac{1}{16}{x}^3-\frac{5}{128}{x}^4+\dots \text{ for }|x|\le 1$

متسلسلة كثيرة حدود (متصمنة الجذور التربيعية ذات α = 1/2 والمتسلسلة الهندسية اللانهائية لـ α = −1):

$(1+x{)}^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^n\text{ for all }|x|<1\text{ and all complex }\alpha$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})=\prod _{k=1}^n\frac{\alpha -k+1}{k}=\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}$

دوال مثلثية:

$\sin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots \text{ for all }x$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots \text{ for all }x$

$\tan x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}(-4{)}^n(1-4^n)}{(2n)!}{x}^{2n-1}=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\cdots \text{ for }|x|<\frac{\pi }{2}$

حيث B_s هي أعداد بيرنولي.

$\sec x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{E}_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n}\text{ for }|x|<\frac{\pi }{2}$

$\arcsin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}\text{ for }|x|\le 1$

$\arccos x=\frac{\pi }{2}-\arcsin x=\frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}\text{ for }|x|\le 1$

$\arctan x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}\text{ for }|x|\le 1$

دوال زائدية:

$\sinh x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots \text{ for all }x$

$\cosh x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots \text{ for all }x$

$\tanh x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}{4}^n(4^n-1)}{(2n)!}{x}^{2n-1}=x-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{15}{x}^5-\frac{17}{315}{x}^7+\cdots \text{ for }|x|<\frac{\pi }{2}$

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}\text{ for }|x|\le 1$

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\text{ for }|x|<1$

مبرهنة تايلور

في التحليل الرياضي، تعطي مبرهنة تايلور تقريبا لتابع قابل للمفاضلة قرب نقطة ما عن طريق كثير حدود معاملاته تعتمد على مشتقات التابع في تلك النقطة.

المثال الأكثر بساطة هو الدالة الأسية قرب النقطة صفر :

${\text{e}}^x\approx 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^N}{N!}.$

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

هذه بذرة مقالة عن الرياضيات تحتاج للنمو والتحسين، فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

bg:Ред на Тейлър bn:টেইলর ধারা bs:Taylorov red ca:Sèrie de Taylor cs:Taylorova řada da:Taylorpolynomium de:Taylorreihe el:Σειρά Taylor Taylor series]] eo:Serio de Taylor es:Serie de Taylor et:Taylori valem eu:Taylor serie fa:بسط تیلور fi:Taylorin sarja fr:Série de Taylor he:טור טיילור hu:Taylor-sor id:Deret Taylor is:Taylorröð it:Serie di Taylor ja:テイラー展開 ko:테일러 급수 lt:Teiloro eilutė ms:Siri Taylor nl:Taylorreeks nn:Taylorrekkje pl:Wzór Taylora pms:Serie ëd Taylor pt:Série de Taylor ro:Serie Taylor ru:Ряд Тейлора si:ටේලර් ශ්‍රේණිය simple:Taylor series sk:Taylorov rad sl:Taylorjeva vrsta sr:Тејлорова формула sv:Taylorserie tr:Taylor serisi uk:Ряд Тейлора vi:Chuỗi Taylor zh:泰勒级数