مبرهنة التقوية الصغيرة

مبرهنة التقوية الضعيفة أو التقوية الصغيرة (بالإنكليزية: small gain theorem) مبرهنة تسمح لنا بدراسة استقرار النظم الخطية واللاخطية سواء أن كانت من نوع سيزو أو ميمو أي سواء أن كانت ذا مدخل ومخرج واحد أو كانت ذات عدة مداخل و/أو مداخل.

مبرهنة التقوية الضعيفة

إذا كانت دالة تحويل النظام الغير موصل دائريا (بالإنكليزية: open loop)

$Q(jw)$

مستقرة فإن النظام الموصل دائريا (بالإنكليزية: closed loop) يكون مستقرا إذا كان ما يلي:

$\rho (Q(jw))<1\mathrm{\forall }w$

حيث $\rho (A)$ تمثل القطر الطيفي للمصفوفة A أي :

$\rho (A)=ma{x}_i|({\lambda }_i(A)|$

مع $\lambda (A)$ هي القيم الذاتية للمصفوفة A

برهان لمي

القطر الطيفي (بالإنكليزية: spectral radius) لمصفوفة ما يكون دائما أصغر أو يساوي القيمة المطلقة المشتقة (بالإنكليزية: induced norm) للمصفوغة A. $\rho (A)\le {\Vert A\Vert }_i$

صياغة أخرى لمبرهنة التقوية الصغيرة

بناء على الليما أعلاه فإنه يمكننا إعادة صياغة مبرهنة التقوية الضعيفة كما يلي: إذا كان النظام الغير موصل دائريا $Q$ مستقر فإن النظام الموصل دائريا يكون مستقر في حالة كان ما يلي:

${\Vert Q\Vert }_i<1\mathrm{\forall }w$

اختيارنا للقيمة المشتقة (بالإنكليزية: 2 induced 2-norm) يعطينا الصياغة التي تقول أن القيمة الفردية العليا (بالإنكليزية: maximum singular value) يجب أن تكون أصغر من واحد حتى يكون النظام مستقرا.

في الأخير تجدر الإشارة إلى أن هذه المبرهنة أي شروطها كافية للاستقرار ولكنها ليست ضرورية أي أنه إذا تغيب شرط من من شروط هذه المبرهنة فإن النظام يمكن أن يكون مع ذلك مستقرا وإذا توفرت فيه شروط المبرهنة فإنه حتما مستقر.

أنظر أيضا

• نظام خطي

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

Small-gain theorem]] pl:Twierdzenie o małym wzmocnieniu