هندسة كسيرية

(بالتحويل من كسيرية)
ملف:Mandelpart2.jpg
مجموعة ماندلبروت, التي سميت على اسم مكتشفها، هي أهم مثال عن البنى الكسيرية
ملف:Julia set (highres 01).jpg

تدرس الهندسة الكسيرية أو الهندسة الفركتلية Fractal Geometry البنى الهندسية المؤلفة من (كسيريات) وهو مجموع كسيرية Fractals التي يمكن تعريفها بانه جزء هندسي صغير جدا غير منتظم ذو أبعاد لامتناهية بالصغر، يمكن أن يتألف من أجزاء متشابهة مؤلفة بدورها من أجزاء متشابهة مشابهة للجزء الأم.

الكسيرية إذا يمكن تعريفها على أنها كائن هندسي خشن غير منتظم على كافة المستويات، ويمكن تمثيلها بعملية كسر شيء ما إلى أجزاء أصغر لكن هذه الأجزاء تشابه الجسم الأصلي. تحمل الكسيرية في طياتها ملامح مفهوم اللانهاية وتتميز بخاصية التشابه الذاتي أي أن مكوناتها مشابهة للكسيرية الأم مهما كانت درجة التكبير. غالبا ما يتم تشكيل الأجسام الكسيرية عن طريق عمليات أو خوارزميات متكررة : مثل العمليات التراجعية recursive أو التكرارية iterative.

مصطلح كسيرية fractal تمت صياغته من قبل بونوا ماندلبرو، من اللاتينية fractus بمعنى مكسور "broken". قبل هذا المصطلح كان الاسم الشائع لهذه البنى هو ندف ثلج كوخ Koch snowflake. تقوم الهندسة الكسيرية عادة بدراسة البنى المؤلفة من كسيريات وتصف العديد من الأوضاع والبنى التي لا يمكن تفسيرها أو دراستها بالهندسة الرياضية الكلاسيكية, إضافة لذلك تمتلك الهندسة الكسيرية تطبيقات عديدة في العلوم والتكنولوجيا والفنون الحاسوبية.

الكسيرية

ملف:Von koch 6 etapes.svg
مخططندفة الثلج لكوخ

الكسيرية أو الفركتل كائن هندسي يتصف بالخشونة وعدم الانتظام على كل المقاييس، ولهذا يبدو في جوهره وكأنه 'مكسور'. ببساطة، يمكن تعريف الفركتلات على أنها صور مقسمة إلى أجزاء، كل منها يبدو مماثلاً للأصل. تحتوي الفركتلات في طياتها معنى اللانهاية، ويبدي بعضها بنية تتصف بالتشابه الذاتي على كل المقاييس، ومختلف مستويات التكبير. في معظم الحالات، يمكن توليد الفركتل من خلال تكرار معين، يتم ذلك عبر إجراء تعاودي أو تكراري. تمت صياغة مصطلح الفركتل fractal عام 1975 من قبل بينويت ماندلبروت، وذلك انطلاقاً من الكلمة اللاتينية fractus والتي تعني 'مكسور'، قبل أن يقوم ماندلبروت بصياغة هذا المصطلح، كان الاسم الشائع لهذه البنى (كندف ثلج كوخ مثلاً) هو المنحني الغريب monster curve.

تمت دراسة العديد من أنواع الكسيريات (الفركتلات) على أنها كائنات رياضية، تشكل الهندسة الفركتلية فرعاً من الرياضيات يختص بدراسة سلوك وخصائص الفركتلات، تصف الهندسة الفركتلية أيضاً الكثير من الحالات التي يستعصي وصفها على الهندسة الكلاسيكية، وغالباً ما تطبق في حقول العلوم والتكنولوجيا والفنون المولدة حاسوبياً، إن تتبع الجذور المفاهيمية للفركتلات يقودنا إلى محاولات سابقة لقياس أغراض عجزت التعاريف التقليدية للهندسة الإقليدية والحساب الإقليدي عن شرحها.

تاريخ الكسيريات

إن ندفة ثلج كوخ هي اجتماع عدد لانهائي من الأشكال، حدود هذه الأشكال مثلثية، لدى إضافة مثلث ناقص الضلع في كل مرة (في تكرار ما) يتضخم محيط الشكل حتى يسعى في نهاية الأمر للانهاية عبر عدد معين من التكرارات. إن طول محيط ندفة ثلج كوخ لا نهائي في حين أن الحيز الذي تشغله هذه الندفة نهائي
إن ندفة ثلج كوخ هي اجتماع عدد لانهائي من الأشكال، حدود هذه الأشكال مثلثية، لدى إضافة مثلث ناقص الضلع في كل مرة (في تكرار ما) يتضخم محيط الشكل حتى يسعى في نهاية الأمر للانهاية عبر عدد معين من التكرارات. إن طول محيط ندفة ثلج كوخ لا نهائي في حين أن الحيز الذي تشغله هذه الندفة نهائي

إسهامات التحليل الكلاسيكي

لقد اكتشفت الأغراض المسماة حالياً فركتلات ودُرست قبل زمن بعيد من إطلاق هذه التسيمة عليها، فإشارة ماندلبروت ذاته إلى فكرة (التشابه الذاتي التعاودي) تعد تطويراً قام به الفيلسوف ليبنز الذي تعمق في دراسة تفاصيل هذه الأغراض، عام 1872، أوجد كارل فايرستراس مثالاُ لدالة ذات خاصة غريبة، ذلك أنها تستمر في كل مكان ولا يمكن تمييزها في أي مكان، إن مخطط هذه الدالة يدعى حالياً فركتل، عام 1904، اختلف هيلغي فان كوخ مع التعريف التحليلي المجرد لفايرستراس، وقدم تعريفاً ذو مضمون هندسي أكثر لدالة مشابهة تدعى حالياً ندفة ثلج كوخ. إن فكرة المنحنيات ذات التشابه الذاتي طورت من قبل باول بيير ليفي والذي شرح عام 1938 في ورقة بحثه (السطوح والمنحنيات المستوية أو الفراغية التي تشكل أجزاءً مشابهة للأصل) منحنى فركتلي جديد يدعى فركتل ليفي. كما قدم جورج كانتور أمثلة لمجموعات جزئية من الخط الحقيقي تتصف بصفات غير طبيعية -إن مجموعات كانتور هذه تصنف حالياً على أنها فركتلات. تمت دراسة التوابع التكرارية في المستويات المعقدة في أواخر القرن التاسع عشر وبدايات القرن العشرين من قبل هنري بوانكاريه، فيليكس كلاين، بيير فاتو وجاستن جوليا، لسوء الحظ، فإن انعدام التقنيات المرئية الحاسوبية الشائعة حالياً في ذلك الوقت، حرم أولئك الأشخاص من إدراك المعنى الجمالي المرئي للعديد من الأغراض التي اكتشفوها.

مفاهيم لتوضيح مجموعة الكسيريات

في محاولة جادة لفهم أغراض معينة كمجموعات كانتور، عمد الرياضيون ككونسستانتين كاراثيودوري وفيليكس هاوسدورف إلى تعميم المفهوم الحدسي للبعد بحيث يتضمن قيماً غير صحيحة، كانت هذه الخطوة جزءاً من توجه ساد في بدايات القرن العشرين بهدف تكوين نظرية وصفية للمجموعة، وكان هذا إتماماً لأبحاث كانتور والتي كانت قادرة إلى حد ما على تصنيف مجموعات من النقاط في فضاء إقليدي. إن تعريف بعد هاوسدروف ذو طبيعة هندسية، ولو أنه شُكل تقنياً باستخدام أدوات من التحليل الرياضي. عمل بيزيكوفيتش في هذا الاتجاه على غرار الآخرين، وقد اختلف في مضمونه عن التحريات المنطقية التي بُني على أساسها القسم الأعظم من النظرية الوصفية للمجموعة على عشرينيات وثلاثينات القرن العشرين، وقد تمت متابعة الأبحاث لاحقاً في هذا المجال، ولكن من قبل المختصين حصراً.

إسهامات ماندلبروت في الستينيات

عمل بينويت ماندلبروت على استقصاء التشابه الذاتي، تجلى ذلك في بضعة أوراق نشرها مثل (كم طول ساحل بريطانيا؟ التشابه الذاتي الإحصائي والبعد الفركتلي)، وقد بنى عمله على الأعمال السابقة للويس فراي ريتشاردسن. تمكن ماندلبروت من اكتشاف صلات قوية بين نتائج رياضية لطالما اعتبرت أنها لا مترابطة سابقاً بفضل اعتماده وبشكل كبير على مقاربة مرئية. عام 1975، صاغ ماندلبروت كلمة كسيرية أو 'فركتل' 'fractal' للدلالة على أغراض ذات تشابه ذاتي، لا تمتلك بعداً محدداً. لقد اشتق كلمة فركتل من الكلمة اللاتينية fractus والتي تعني 'مكسور' أو 'غير نظامي'، وليس من كلمة fractional والتي تعني كسري كما يظن الكثيرون، مع العلم أن هذه الأخيرة يعتقد أنها مشتقة أيضاً من كلمة fractus اللاتينية. لدى استخدام المرئيات الحاسوبية في مجال الهندسة الكسيرية، ظهرت براهين مرئية سرعان ما ربطت العديد من مجالات الرياضيات والعلوم بشكل غير مسبوق، تحديداً في حقول الديناميكية اللاخطية، نظرية الشواش (علماً أن البعض يفضل استخدام المصطلح xaos عوضاً عن السايقة وذلك بهدف التمييز بين السلوك اللاخطي والمعنى المتداول للكلمة) والتعقيد. فعلى سبيل المثال، أظهر رسم خوارزمية نيوتن بشكل فركتلي أن الحدود بين الحلول المختلفة هي ذات طبيعة فركتلية، كما أظهرت أن الحلو بحد ذاتها هي جواذب غريبة. تستخدم الهندسة الفركتلية أيضاً في مجال ضغط البيانات ونمذجة الأنظمة الجيولوجية والعضوية المعقدة، يعد نمو الأشجار وتظور أحواض الأنهار أمثلة واضحة على ذلك. وسع هاريسون الحساب النيوتوني بشكل يتضمن المجالات الفركتلية، بما فيها نظريات غاوص، غرين وستوكس.

البعد الكسيري لحد ندفة ثلج كوخ

إن الطول الكلي لعدد ما N بالنسبة لمجموعة من الخطوات L هو الجداء NL، بتطبيق ذلك على حد ندفة ثلج كوخ سنحصل على طول لانهائي للحد ذلك أن L لامتناهية في الصغر، إن هذا غير مقبول، فكما أن ندف ثلج كوخ المختلفة لها قياسات مختلفة، فإن الحل هو بالقياس، ليس بالمتر ولا بالمتر المربع، بل باستخدام واحدة المتر مرفوعة إلى قوة على الشكل m2. وبالتالي: 4N(L/3)x = NLx، نفسر العلاقة السابقة بأن تصغير طول الخطوة لثلاثة أمثال يتطلب أربعة أمثال عدد الخطوات، إن حل المعادلة السابقة يعطي x = (log 4)/(log 3) = 1.26186. وبالتالي فإن واحدة قياس حد ندفة ثلج كوخ هي m1.26186,

تعاريف

لعل أكثر خواص الكسيريات (الفركتلات) إثارة هي لانظاميتها بشكل عام من حيث الشكل. ولهذا فهي ليست نمطاً من الأغراض القابلة للتعريف بالهندسة التقليدية، إن هذا يعني أن الفركتلات تنحو باتجاه إعطاء تفاصيل مرئية جديدة باستخدام المقاييس المختلفة، ففي حالة التشابه الذاتي، عند تكبير الفركتلات نحصل على صور مماثلة للأصل وغالباً ما تعرف مجموعات كهذه تعاودياً. إن أي شكل إقليدي كالدائرة على سبيل المثال، يبدو أكثر تسطحاً بزيادة التكبير، وعندما يصبح التكبير لانهائياً يصبح من المستحيل التمييز فيما إذا كان أصل الشكل دائرة أو خط مستقيم، تنعدم هذه الخاصة في الفركتلات. فالفكرة التقليدية للمنحني والتي تبين تغير نصف قطر الدائرة بالتقريب يصبح من المستحيل اعتمادها لغياب التقييس، في حين أن زيادة تكبير الفركتلات يظهر تفاصيل أكثر وأكثر كانت غائبة سابقاً. مثلما تظهر العديد من الصفات المميزة الخاصة بالفركتلات، يتعذر بشكل ملحوظ إجمالها في تعريف رياضي صريح ودقيق، لقد عرف ماندلبروت الفركتل على أنه "مجموعة يتجاوز فيها بعد هاوسندروف بعدها اللاكمي". فمن أجل شكل فركتلي ذو تشابه ذاتي، فإن بعد هاسندروف يساوي إلى بعد مينكوفسكي بوليجاند.

من المشاكل التي تخص تعريف الكسيريات (الفركتلات):

  • لا يوجد تعريف دقيق لعبارة "شديد اللانظامية".
  • لا يوجد تعريف دقيق للـ "بعد".
  • توجد العديد من الطرق التي يمكن من خلالها تعريف كائنات ذات تشابه ذاتي.
  • ليست كل الفركتلات معرفة بشكل تعاودي.

أصناف الكسيريات

مجموعة ماندلبروت الكاملة
مجموعة ماندلبروت مكبرة ستة أضعاف
مجموعة ماندلبروت مكبرة مئة ضعف
مجموعة ماندلبروت مكبرة ألفي ضعف حتى لدى تكبير مجموعة ماندلبروت لألفي ضعف، تظهر تفاصيل جديدة تكون صوراً مشابهة للصورة الأصلية

يمكن تصنيف الكسيريات في ثلاث مجموعات رئيسية. تصنف هذه المجموعات الفركتلات اعتماداً على طرق توليدها أو تعريفها:

سجادة سربنسكي, حشية سربنسكي, منحني بينو, ندفة ثلج كوخ, منحني التنين هارتر هايواي, المربع تي, اسفنجة مينجر.

يمكن تصنيف الكسيريات أيضاً اعتماداً على تشابهها الذاتي. توجد ثلاثة أنواع للتشابه الذاتي في الكسيريات:

  • تشابه ذاتي متطابق — يعد أقوى أنواع التشابه الذاتي، تبدو الفركتلات ذاتها على أي مقياس تكبير، إن الكسيريات المعرفة باستخدام أنظمة التوابع التكرارية غالباً ما تكون ذات تشابه ذاتي متطابق.
  • تشابه ذاتي ظاهري — وهو نمط غير محكم من التشابه الذاتي، تبدو الكسيريات متطابقة إلى حد ما (ولكن ليس تماماً) على مقاييس تكبير مختلفة، تحتوي فركتلات التشابه الذاتي الظاهري على نسخ مصغرة من كامل الفركتل ولكن بأشكال منحلة مشوهة، إن الكسيريات المعرفة بعلاقات تكرارية غالباً ما تكون ذات تشابه ذاتي ظاهري وليست ذات تشابه ظاهري متطابق.
  • التشابه الذاتي الإحصائي — يعد من أضعف أنواع التشابه الذاتي، يبيدي الكسيرية قياسات رقمية أو إحصائية ثابتة على اختلاف مقاييس التكبير.

إن أكثر تعاريف الكسيريات بداهة تحتوي في مضمونها شكلاً من أشكال التماثل الظاهري الإحصائي، (البعد الكسيري أو الفركتلي مثلاً هو قياس رقمي محفوظ على اختلاف مقاييس التكبير). إن الفركتلات العشوائية هي أمثلة واضحة على كسيريات التشابه الذاتي الإحصائي، ولكنها ليست ذات تشابه ذاتي متطابق أو ظاهري. من الجدير بالملاحظة أنه ليست كل الأغراض ذات التماثل الذاتي هي فركتلات، فالخط الحقيقي (خط إقليدي متصل) مثلاً ذو تماثل ذاتي تام، إلا أن الادعاء بأن كامل الكائنات الإقليدية هي فركتلات يمثل موقف قلة من الأشخاص، فقد رأى ماندلبروت أن تعريف الكسيرية لا يجب أن يتضمن الكسيريات "الحقيقية" فقط، بل الأغراض الإقليدية الكلاسيكية، فوجود الأعداد الصماء على مستقيم الأعداد يولد خصائص معقدة لا متكررة. طالما أن البنية الحبيبية للكسيريات لا متناهية، فمن غير الممكن اعتبار أياً من الأغراض الطبيعية فركتلاً، على كل الأحوال، يمكن أن تبدي الأغراض الطبيعية خصائص مشابهة للفركتلات على عدد محدود من مقاييس التكبير.

أمثلة

ملف:Julia set (indigo).png
مجموعة جوليا, هي فركتل يرتبط إلى حد ما بمجموعة ماندلبروت

تتضمن الأمثلة الشائعة للفركتلات مجموعة ماندلبروت, فركتل ليابونوف, مجموعة كانتور, حشية سربنسكي and سجادة سربنسكي, اسفنجة مينجر, منحني التنين, منحني بينو, والمجموعات المحدودة مجموعة كلاينايان, ومنحني كوخ. قد تكون الفركتلات محددة أو مختارة بشكل عشوائي. الأنظمة الديناميكية الشواشية غالباً (إن ليس دائماً) تربط بالفركتلات. تتضمن مجموعة ماندلبروت أقراصاً كاملة ببعد يساوي 2، وهذا ليس مفاجئاً، ذلك أن الذي يفاجئ بشكل كبير هو أن بعد هاوسدروف لحد مجموعة ماندلبروت هو أيضاً 2.

مجموعة أخرى من الأمثلة المماثلة هي مجموعات كانتور، والتي بانتزاع فترات أصغر وأصغر من الفترة [0.1]، تترك مجموعات من الممكن (وقد يكون من غير الممكن) أن تحتوي على بنية تماثل ذاتي لدي تكبيرها، وقد تحتوي (أو لا تحتوي) على بعد d يقع بين 0 و 1. كتطبيق بسيط يظهر الترابط بين المفهومين، انتزاع الرقم 7 من الامتدادات العشرية يتصف بالتشابه الذاتي لدى تكبير انطوائي بمقدار العشرة، ولديه أيضاً البعد log9/log10 (تبقى القيمة ذاتها حتى لو قمنا بتغيير قاعدة اللوغاريتم)

الكسيريات في الطبيعة

من الممكن مصادفة أشباه الفركتلات بكثرة في الطبيعة. تظهر كائنات كهذه بنية معقدة على امتداد تكبير منته. هذه الفركتلات التي تتولد طبيعياً (الغيوم، الجبال، شبكات الأنهار وأنظمة الأوعية الدموية) لديها حدود دنيا وعليا، ولكنها تتميز عن بعضها بمقاييس تكبير مختلفة. على الرغم من وجود الفركتلات حولنا بكثرة، فإنها لم تدرس بشكل معمق حتى بدايات القرن العشرين، أما التعريفات العمومية لها فجاءت متأخرة قليلاً.

إن الأشجار والسراخس فركتلية بطبيعتها، ويمكن نمذجتها بالحاسب عبر استخدام خوارزميات تعاودية. تبدو الطبيعة العودية واضحة في هذه الأمثلة، ففرع الشجرة أو ورقة من السراخس هي تكرار مصغر للكل: ليس مطابقاً ولكنه مشابه من حيث الطبيعة.

التطبيقات على الهندسة الكسيرية

يمكن وصف الهندسة الكسيرية بانها النظام الحقيقى لكمية هائلة من الأنظمة الرياضية المعقدة في شكل تمثيلى قد تظهر من الوهلة الأولى انها بلا نظامية الا انها الطريقة المثلى لتمثيل هذه البيانات وللكسيريات العشوائية تطبيقات هامة، ذلك أنه من الممكن استخدامها لتوصيف كائنات من العالم الحقيقي شديدة اللانظامية، أمثلة على ذلك الغيوم، الجبال، الاضطرابات، الخطوط الساحلية والأشجار. تطبق التقنيات الفركتلية أيضاً في مجال ضغط الصور الفركتلي، بالإضافة إلى العديد من المجالات العلمية الأخرى.

هنالك العديد من التطبيقات للفركتلات في الحقول التالية:

  • تصنيف الشرائح التي تصف تغير مراحل الأمراض في الطب
  • ابتكار أنواع جديدة من الموسيقى
  • تخلق أشكال جديدة في مجال الفن
  • ضغط الصورة والإشارة
  • علم الزلازل
  • علم الكون
  • تصميم الألعاب الحاسوبية وخاصة فيما يتعلق بالصور الحاسوبية الخاصة بالبيئات العضوية.

توليد الكسيريات

غالباً ما تولد الكسيريات باستخدام الحاسب، يوجد عدد كبير من البرامج التي تمكننا من نمذجة الكسيريات كما يمكن لبعضها أن تقوم بتوليدها:

  • Fractint (يعمل على مجموعة من منصات التشغيل)
  • Sterling Fractal — برنامج توليد فركتلات محسن يخص أنظمة Microsoft Windows من قبل ستيفن فيركسون
  • XaoS — برنامج سريع يعمل بالنظام الحقيقي يختص بنمذجة وتكبير الفركتلات (homepage).

اقرأ أيضا

المراجع

  • Barnsley, Michael F., and Hawley Rising. Fractals Everywhere. Boston: Academic Press Professional, 1993. ISBN 0-12-079061-0
  • Falconer, Kenneth. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. West Sussex: John Wiley & Sons, Ltd., 2003. ISBN 0-470-84861-8
  • Jürgens, Hartmut, Heins-Otto Peitgen, and Dietmar Saupe. Chaos and Fractals: New Frontiers of Science. New York: Springer-Verlag, 1992. ISBN 0-387-97903-4
  • Mandelbrot, Benoît B. The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H. Freeman and Co., 1982. ISBN 0-7167-1186-9
  • Peitgen, Heinz-Otto, and Dietmar Saupe, eds. The Science of Fractal Images. New York: Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-96608-0
  • Clifford A. Pickover, ed. Chaos and Fractals: A Computer Graphical Journey - A 10 Year Compilation of Advanced Research. Elsevier, 1998. ISBN 0-444-50002-2
  • أمثله فركتلية في تطبيقات الهندسة الوصفية
مشاريع شقيقة هناك المزيد من الصور والملفات في ويكيميديا كومنز حول: هندسة كسيرية

وصلات خارجية

برامج توليد كسيرية متعددة المنصات
  • IFS Illusions معارض
  • Xaos — Realtime generator — Windows, Mac, Linux, etc
  • FLAM3 — Advanced iterated function system designer and renderer for all platforms.
  • Fract — A Web-based fractal zoomer
برامج توليد كسيرية على اللينكس
برامج توليد كسيرية على الويندوز
برامج توليد كسيري على الماك
MorphOS generator programs
معارض فن كسيري
ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

af:Fraktaalmeetkunde als:Fraktal bg:Фрактал bn:ফ্রাক্টাল bs:Fraktal ca:Fractal cs:Fraktál cv:Фрактал da:Fraktal de:Fraktal el:Φράκταλ Fractal]] eo:Fraktalo es:Fractal et:Fraktal eu:Fraktal fa:برخال fi:Fraktaali fr:Fractale gl:Fractal he:פרקטל hi:भग्न hr:Fraktal hu:Fraktál ia:Fractal id:Fraktal io:Fraktalo it:Frattale ja:フラクタル ka:ფრაქტალი kk:Фракталдар kn:ಫ್ರಾಕ್ಟಲ್‌ ko:프랙탈 la:Fractal lt:Fraktalas lv:Fraktālis ml:ഫ്രാക്ടൽ ms:Fraktal nl:Fractal no:Fraktal pl:Fraktal pt:Fractal ro:Fractal ru:Фрактал sah:Фрактал scn:Frattali sh:Fraktal simple:Fractal geometry sk:Fraktál sl:Fraktal sr:Фрактал sv:Fraktal ta:பகுவல் th:แฟร็กทัล tr:Fraktal uk:Фрактал ur:Fractal vi:Phân dạng zh:分形

مجلوبة من «https://3arf.org/w/index.php?title=هندسة_كسيرية&oldid=81466»