عاملي

في الرياضيات، المضروب أو العاملي لعدد صحيح طبيعي n، والذي يكتب n!، والذي يقرأ "عاملي n"، هو جداء الأعداد الصحيحة الموجبة قطعا والأصغر أو تساوي n. و يكتب :

$n!=\prod _{i=1}^{n}i=1\times 2\times 3\times \cdots \times (n-1)\times n$

أمثلة :

• 1! = 1
• 2! = 1 × 2 = 2
• 3! = 1 × 2 × 3 = 6
• 10! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 = 3628800

و تعريف العاملي على شكل جداء يترتب عنه كون 0! = 1 ذلك أن 0! جداء مفرغ، وبمعنى آخر مقتصر على العنصر المحايد في عملية الضرب.

و يلعب العاملي دورا أساسيا في علم الاحتمالات والتراتيب بما أنه يوجد n! طريقة مختلفة لتوزيع n شيئا. و يظهر العاملي في عدة معادلات رياضية، مثل سيغة الثنائي لنيوتن وصيغة تايلور.

و تعطينا صيغة ستيرلينغ مقاربا لـ n! عندما تكون n كبيرة :

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}(n/e{)}^n}=1.$

عاملي عدد غير صحيح

لكل عدد صحيح n، لدينا $\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!$ حيث Γ هي دالة أويلر(دالة غاما) وضعها ليونهارد أويلر. وتمكننا هاته الدالة من تعميم العاملي على مجموعة الأعداد المركّبة باستثناء الأعداد السالبة قطعا. وفي النهاية نجد :

$$\begin{gathered} \mathrm{\Gamma }(z+1)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^z{e}^{-t}\mathrm{d}t=z! \\ \mathrm{\forall }z>-1 \end{gathered}$$

البرمجة

يمكن حساب عاملي عدد ما باستعمال خوارزميات الاستقراء. فلنكتب باستعمال لغة Scheme، القريبة من لغة Lisp، برنامجا استقرائيا يعطينا عاملي عدد صحيح :

(define fact
  (lambda (x)
    (if (= x 0) 1
      (* x (fact (- x 1))))))

و هذا البرنامج السابق غير مفيد في حالة الاعداد الكبيرة.

و بنفس الطريقة في Caml :

let rec fact n = 
  match n with
    | 0 -> 1
    | _ -> n * fact(n-1)
;;

و بطريقة أخرى:

let fact n =
  let rec aux n r =
    match n with
      | 0 -> r
      | _ -> aux (n-1) (n*r)
  in
  aux n 1
;;

و في لغة سي: <source lang="c">

int factorielle_recursive(int n)
{
  if (n == 0)
    return 1;
  else
    return n * factorielle_recursive(n-1);
}

و بطريقة أخرى: </source> و بطريقة أخرى: <source lang="c">

int factorielle_iterative(int n)
{
  int res;
   
  for (res = 1; n > 1; n--)
    res *= n;
   
  return res;
}

</source> و في لغة Python: <source lang="python">

fact = lambda x : x>0 and x*fact(x-1) or 1

----------------------------------------------------

الاستعمال :
for i in range(10):
    print "fact %d = %d" %(i, fact(i))

ويظهر على الشاشة :
fact 0 = 1
fact 1 = 1
fact 2 = 2
fact 3 = 6
fact 4 = 24
fact 5 = 120
fact 6 = 720
fact 7 = 5040
fact 8 = 40320
fact 9 = 362880

</source> هذه الدوال (البرامج) لا تمكننا من حساب عملي أعداد أكبر من 12 إذا كانت الاعداد الصحيحة محدودة بـ 32 بت، لأن النتيجة تتعدى المساحة المتوفرة.

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

bg:Факториел bs:Faktorijel ca:Factorial cs:Faktoriál cv:Факториал da:Fakultet (matematik) de:Fakultät (Mathematik) el:Παραγοντικό Factorial]] eo:Faktorialo es:Factorial et:Faktoriaal eu:Faktorial fa:فاکتوریل fi:Kertoma fr:Factorielle gl:Factorial he:עצרת hu:Faktoriális id:Faktorial io:Faktorialo is:Aðfeldi it:Fattoriale ja:階乗 ka:მათემატიკური ფაქტორიალი kk:Факториал ko:계승 la:Factorialis lmo:Faturiaal lt:Faktorialas lv:Faktoriāls ml:ഫാക്റ്റോറിയൽ ms:Faktorial nl:Faculteit (wiskunde) nn:Fakultet i matematikk no:Fakultet (matematikk) pl:Silnia pms:Fatorial pt:Fatorial ro:Factorial ru:Факториал scn:Fatturiali sh:Faktorijel simple:Factorial sk:Faktoriál sl:Fakulteta (funkcija) sq:Faktoriali sr:Факторијел sv:Fakultet (matematik) ta:தொடர் பெருக்கம் th:แฟกทอเรียล tr:Faktöriyel uk:Факторіал ur:عاملیہ vi:Giai thừa zh:階乘