صيغة هيرو

ملف:Triangle with notations 2.svg

مثلث له أضلاع a, b وc

في الهندسة الرياضية، تستخدم صيغة هيرو لحساب مساحة مثلث أطوال أضلاعه a, b وc بالعلاقة:

$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

حيث s هو نصف طول محيط المثلث:

$s=\frac{a+b+c}{2}.$

ومن الممكن كتابة صيغة هيرو على الأشكال التالية:

$$\begin{gathered} A=\frac{ \\ \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)} \\ }{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} A=\frac{ \\ \sqrt{2(a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2)-(a^4+b^4+c^4)} \\ }{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} A=\frac{ \\ \sqrt{(a^2+b^2+c^2{)}^2-2(a^4+b^4+c^4)} \\ }{4}. \end{gathered}$$

تعميم الصيغة لشكل الرباعي

ملف:Quadrilateral ABCDE.png

شكل رباعي غير منتظم

يمكن تعميم صيغة هيرو لحساب مساحة الشكل الرباعي بدلالة أطوال أضلاعه الأربعة وطول أحد قطريه وذلك بجمع مساحة مثلثين. لو افترضنا أن أضلاع الشكل الرباعي هي A،B،C،D وأن أحد قطريه هو E فإن مساحته تعطى بالعلاقة:

$A=\frac{\sqrt{(A^2+D^2+E^2{)}^2-2(A^4+D^4+E^4)}+\sqrt{(B^2+C^2+E^2{)}^2-2(B^4+C^4+E^4)}}{4}.$

صيغة جيوشاو

تعزى الصيغة السابقة إلى هيرو السكندري، ويمكن الحصول على برهانها في كتابه (ميتريكا) الذي كتبه حوالى 60 بعد الميلاد.

توجد صيغة أخرى مكافئة لصيغة هيرو:

$A=\frac{1}{2}\sqrt{a^2{c}^2-{\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2}\right)}^2}$

اكتشفت هذه الصيغة من قبل الصينيين بشكل مستقل عن الإغريق ونشرها قين جيوشاو في 1247 ميلادية.

برهان صيغة هيرو

فيما يلي برهان لصيغة هيرو باستخدام الجبر، وهو يختلف عن البرهان الذي قدمه هيرو في كتابه "متريكا": لتكن a، b، c هي أضلاع المثلث، ولتكن A، B، C زواياه المقابلة لأضلاعه. يصبح لدينا: $\cos (C)=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ من قانون جيوب التمام. نحصل على:

$\sin (C)=\sqrt{1-{\cos }^2(C)}=\frac{\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}}{2ab}.$

ارتفاع المثلث على القاعدة a طوله b sin(C),وبالتالي

$\begin{array}{rl}A& =\frac{1}{2}(\text{base})(\text{altitude})\\ & =\frac{1}{2}ab\sin (C)\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{(2ab-(a^2+b^2-c^2))(2ab+(a^2+b^2-c^2))}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{(c^2-(a-b{)}^2)((a+b{)}^2-c^2)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{(c-(a-b))((c+(a-b))((a+b)-c))((a+b)+c)}\\ & =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.\end{array}$

تم تحليل الفرق بين المربعين في مرحلتين مختلفتين.

برهان صيغة جيوشاو

اذا كان لدينا: a، b، c هي أضلاع المثلث، ولتكن A، B، C زواياه المقابلة لأضلاعه. يصبح لدينا:

$\begin{array}{rl}A& =\frac{1}{2}(\text{base})(\text{altitude})\\ & =\frac{1}{2}ab\sin (C)\\ & =\frac{1}{2}ab\sqrt{1-co{s}^2(C)}\\ & =\frac{1}{2}ab\sqrt{1-{\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)}^2}\\ & =\frac{1}{2}\sqrt{a^2{b}^2-{\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2}\right)}^2}\\ \end{array}$

وصلات خارجية

إيريك ويستاين، معادلة هيرون، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).

المصادر

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

bg:Херонова формула ca:Fórmula d'Heró cs:Heronův vzorec da:Herons formel de:Satz des Heron el:Τύπος του Ήρωνα Heron's formula]] eo:Formulo de Herono es:Fórmula de Herón et:Heroni valem fa:فرمول هرون fi:Heronin kaava fr:Formule de Héron he:נוסחת הרון hr:Heronova formula hu:Hérón-képlet it:Formula di Erone ja:ヘロンの公式 kk:Герон формуласы km:រូបមន្តហេរុង ko:헤론의 공식 lmo:Fórmula de Eróne lv:Hērona formula ms:Teorem Heron nl:Formule van Heron no:Herons formel pl:Wzór Herona pms:Fórmola d'Eron pt:Teorema de Herão ro:Formula lui Heron ru:Формула Герона sl:Heronova formula sr:Херонова формула sv:Herons formel ta:ஈரோனின் வாய்பாடு uk:Формула Герона vi:Công thức Heron zh:海伦公式 zh-classical:海倫公式