حلم الطالب المبتدئ

إن حلم الطالب المبتدئ freshman's dream هو اسم يعطى في بعض الأحيان على الخطأ $(x+y{)}^n=x^n+y^n$ , التي تحدث بشكل شائع بين الطلاب المبتدئين. عندما تكون $n=2$, فيسهل فهم لما هي خطأ: $(x+y{)}^2$ يمكن أن تحسب بشكل صحيح بطريقة FOIL و يكون الناتج $x^2+2xy+y^2$. و بالنسبة لقيم $n$الكبرى, تعطى الناتج الصحيح بواسطة امبرهنة ثنائية الحد.

يعطى هذا الاسم في بعض الأحيان لتكون مبرهنة التي تقول بأن $(x+y{)}^p=x^p+y^p$ إذا كانت $x$ و $y$ هما أحد أعضاء الحقل للخاصية $p$; في هذه الحالة, هذا "الخطأ" تعطي في الواقع النتيجة الصحيحة, ذلك بسبب تشاكل فروبنيوس التلقائي Frobenius automorphism.

برهان

تكون البرهان عند تطبيق مبرهنة ثنائية الحد binomial theorem. و نثبتها أولاً بالنسبة للمتغير $p$. $(x+y{)}^p=\sum _{i=0}^p(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{i})x^i{y}^{p-i}$. لاحظ الآن

.$(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{i})=\frac{p!}{(p-i)!i!}=p\cdot \frac{(p-1)!}{(p-i)!i!}$

عندما يكون $p$ عدد أولي و $1\le i\le p-1$ تتبع $i!$ و $(p-i)!$ لا تقسم $p$. كما لدى حقل $K$ خاصية $p$, و تكون $\frac{(p-1)!}{(p-i)!i!}$ هو العدد الصحيح $m$ حيث أن $(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{i})=pm\equiv 0$ . لذا $(x+y{)}^p=x^p+y^p$.

و الآن نستعمل الاستقراء induction للمتغير $p^i$: $(x+y{)}^{p^i}=((x+y{)}^p{)}^{p^{i-1}}=(x^p+y^p{)}^{p^{i-1}}=x^{p^i}+y^{p^i}$.

شاهد أيضاً

• حلم الطالب الجامعي Sophomore's dream

مراجع

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

bs:Brucoški san Freshman's dream]]