متسلسلة فورييه

متسلسلة فوريي هي متسلسلة يمكن من خلالها كتابة أي دالة رياضية دورية في شكل متسلسلة أو مجموع من دوال الجيب(السينوس) وجيب التمام(الكوسينوس) مضروب بمعامل معين.

يعزى اسمها إلى العالم الفرنسي جوزيف فورييه تقديرا لأعماله الفذة في المتسلسلات المثلثية.

تحويل فوريي

ملف:Fourier Series.svg

تقريبات متسلسلة فوريير الأربعة الأولى لدالة دورية مربعة.

تحويل فوريي هو عملية رياضية تستخدم لتحويل الدوال الرياضية من مجال الزمن إلى مجال التردد. وهي مفيدة لتحليل الإشارات ومعرفة الترددات التي تتضمنها، كما أن لها تطبيقاً في حل المعادلات التفاضلية. واسم العملية مشتق من اسم العالم الفرنسي فوريي.
إذا رمزنا ب t للزمن
واعتبرنا w ترددا فإن تحويل فوريي الذي نرمز له هنا ب M هو تبسيطا دالة تحول إشارة أو دالة من دالة بمتغير هو الزمن إلى دالة بمتغير هو التردد.أما الأصح هو أنها عملية أي operator (أي مثل الضرب والجمع والقسمة ولكنها أكثر تعقيدا حيث أنها عملية بين دالتين وليست عملية بين عددين) على كل فإن تأثير العملية مبين أسفله.
$f(t{)}_{{\leftarrow }_m}^{{\to }^M}F(w)$
و دالة التحويل M أي التي تحول دالة بمتغيير هو الزمن إلى دالة بمتغيير هو التردد يمكن حسابها على النحو الآتي:

$M\{f(t)\}=F(w)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-jwt}dt$
و كما يوجد تحويل فوريي فإنه يوجد تحويل فوريي معاكس رمزت له هنا ب m وهو يقوم بالتحويل العكسي لتحويل فوريي أي من دالة بمتغير قيمته معقدة إلى دالة بمتغير قيمته حقيقية. ويمكن حساب هذه العملية على النحو التالي:

صيغة فورييه للدوال الدورية ذات الدور 2π في صورة مثلثية

بالنسبة للدالة الدورية ƒ(x) القابلة للتكامل على [−π, π]، الإعداد

$a_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\cos (nx)dx,n\ge 0$

و

$b_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\sin (nx)dx,n\ge 1$

يطلق عليها معاملات فوريير للدالة ƒ. أحدها يعطي المجاميع الجزئية لمتسلسلات فورييه للدالة ƒ, يرمز لها عادة بـ

$(S_{N}f)(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^N[a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx)],N\ge 0.$

المجاميع الجزئية لـ ƒ هي كثيرات حدود مثلثية. يتوقع المرء أن الدوال S_N ƒ هي تقريبات للدالة ƒ، وأن التقارب يتحسن عندما تقترب N من مالانهاية. يطلق على المجموع المحدود

$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx)]$

اسم متسلسلة فورييه للدالة ƒ.

لا تتقارب متسلسلات فورييه دائما، وحتى عندما تتقارب بالنسبة لقيمة معينة، x₀ of x، فإن مجموع السلسلة عند x₀ قد تختلف من قيمة ƒ(x₀) للدالة.

مثال 1: متسلسلة فوريير بسيطة

ملف:Periodic identity.png

مخطط بياني لدالة دورية مكافئة لـ— موجة سن المنشار

ملف:Periodic identity function.gif

مخطط حركي للأجزاء الخمسة الأولى من متسلسلة فوريير

باستعمال الصيغة المذكورة آنفا، نفرض دالة سن المنشار

$f(x)=x,\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}-\pi <x<\pi ,$

$f(x+2\pi )=f(x),\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }.$

تكون معاملات فوريير هنا

$\begin{array}{rl}{a}_n& =\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}x\cos (nx)dx=0,n\ge 0.\\ b_n& =\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}x\sin (nx)dx=-\frac{2}{n}\cos (n\pi )+\frac{2}{\pi n^2}\sin (n\pi )=2\frac{(-1{)}^{n+1}}{n},n\ge 1.\end{array}$

يمكن إثبات أن متسلسلة فوريير تتقارب إلى ƒ(x) عند كل نقطة x حيث ƒ قابلة للتفاضل، وبالتالي:

قالب:NumBlk

نعنx = π، تقترب المتسلسلة من 0, وهذا نصف المجموع للنهاية اليسرى واليمنى للدالة ƒ عند x = π.

تحويل فوريي السريع

تحويل فوريي السريع (Fast Fourier Transformation) خوارزمية تمكننا من حساب قيمة تحويل فوريي المتقطع بسرعة. سرعة هذه الخوارزمية تعود إلى أنها لا تقوم بحساب الأجزاء التي يساوي مجموعها صفرا في تحويل فوريي المتقطع. وتنسب الخوارزمية إلى جيمس كولي James W. Cooley وجون تيوكي John W. Tukey الذان قاما بنشر الخوارزمية سنة 1965 وذلك بالصيغة المعروفة اليوم، إلا أن العالم الألماني كارل فريدرش غاوس قام بصياغة خوارزمية شبيهة سنة 1805 واستعملها في حساب مجرى المذنبات بالاس وجونو. كما تم تطوير بعض الحالات الخاصة من الخوارزمية قبل اكتشاف توكي لها (من قبل غود سنة 1960).

تحويل فوريي المتقطع

وهي طريقة حساب تحويل فوريي في الحواسيب.

التردد

التردد هو مقياس لتكرار حدث ما في فترة زمنية ما، ووحدته الهيرتز، ويستخدم بشكل أساسي لقياس مقدار تكرار الموجات، فيكون تردد موجة 1 هيرتز يعني أنه في كل ثانية تمر موجة كاملة في نقطة ما هي نقطة القياس.

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

bg:Ред на Фурие bs:Fourierov red ca:Sèrie de Fourier cs:Fourierova řada da:Fourierrække de:Fourierreihe Fourier series]] es:Serie de Fourier fa:سری فوریه fi:Fourier'n sarja fr:Série de Fourier gl:Serie de Fourier he:טור פורייה hi:फ़ोरियर श्रेणी hu:Fourier-sor id:Deret Fourier it:Serie di Fourier ja:フーリエ級数 kk:Фурье қатары ko:푸리에 급수 lt:Furjė eilutė ms:Siri Fourier mt:Serje ta' Fourier nl:Fourierreeks nn:Fourierrekkje pl:Szereg Fouriera pt:Série de Fourier ro:Serie Fourier ru:Ряд Фурье si:ෆූරියර් ශ්‍රේණිය sk:Fourierov rad sl:Fourierjeva vrsta sq:Seritë e Furierit su:Dérét Fourier sv:Fourierserie th:อนุกรมฟูรีเย tr:Fourier serileri uk:Ряд Фур'є vi:Chuỗi Fourier zh:傅里叶级数