مبرهنة بايز

مبرهنة بايز هي إحدى نتائج نظرية الاحتمالات الهامة التي تعطي التوزيع الاحتمالي الشرطي للمتغير العشوائي A مع العلم بالمتغير العشوائي B, وذلك بدلالة التوزيع الاحتمالي الشرطي للمتغير العشوائي B مع العلم ب A والتوزع الاحتمالي للمتغيرين A وB.

برهان مبدئي لمبرهنة بايز

ملف:BayesTh.jpg

مجموعات جزئية من فضاء العينة S

لنفرض أن الأحداث A1 و A2 و A3 و A4 و A5... تشكل تجزيئا لفضاء العينة S. أي أن A1 و A2 و A3 و A4 و A5 مجموعات جزئية من فضاء العينة S متنافية مثنى مثنى (لا يوجد تقاطع بين أي اثنين منها, واجتماعها جميعها يشكل فضاء العينة بكامله). لنفرض أن حدثا ضمن فضاء العينة B (المنطقة المظللة) فإن :

$B=(S\cap B)=()\cap B=(A1\cap B)\cup (A2\cap B)\cup (A3\cap B)\cup (A4\cap B)\cup (A5\cap B)$

و بما أن A1 و A2 و A3 و A4 و A5 متنافية مثنى مثنى فإن الأحداث $B\cap Ai$ متنافية أيضا مثنى :

$P(B)=P(A1\cap B)+P(A2\cap B)+P(A3\cap B)+P(A4\cap B)+P(A5\cap B)$

باستخدام علاقة الاحتمال الشرطي :

$P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)+P(B|A4)P(A4)+P(B|A5)P(A5)$

مقولات مبرهنة بايز

تقوم مبرهنة بايز بربط الاحتمالات الشرطية conditional والاحتمالات الحافية marginal probabilities, لكي نقوم باستنتاج هذه المبرهنة, لا بد لنا أن نبدأ من تعريف الاحتمال الشرطي:

$P(A|B)P(B)=P(A\cap B)=P(B|A)P(A)$

و هو ما يقرأ(جداء الاحتمال الشرطي ل A بمعرفة B في احتمال B) يعطي احتمال حدوث A وB معا وهو يساوي أيضا (جداء الاحتمال الشرطي ل B بمعرفة A في احتمال A).

باعتبار P(B) ليس معدوما نقوم بقسمة طرفي المعادلة السابقة عليه:

$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

و هو نص ما يعرف عادة بمبرهنة بايز.

تقرأ : " الاحتمال الشرطي للحدث A بمعرفة الحدث B يساوي إلى احتمال B بمعرفة A مضروبا باحتمال A مقسوما على احتمال B. "

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

af:Bayes se stelling be:Тэарэма Баеса be-x-old:Тэарэма Баэса bg:Теорема на Бейс ca:Teorema de Bayes cs:Bayesova věta da:Bayes' teorem de:Bayestheorem Bayes' theorem]] es:Teorema de Bayes eu:Bayesen teorema fa:قضیه بیز fi:Bayesin teoreema fr:Théorème de Bayes ga:Teoirim Bayes he:חוק בייס hu:Bayes-tétel is:Formúla Bayes it:Teorema di Bayes ja:ベイズの定理 ko:베이즈 정리 lt:Bajeso teorema mn:Байесын теорем nl:Theorema van Bayes no:Bayes' teorem pl:Twierdzenie Bayesa pms:Fórmola ëd Bayes pt:Teorema de Bayes ro:Teorema lui Bayes ru:Теорема Байеса simple:Bayes' theorem sr:Бајесова теорема su:Téoréma Bayes sv:Bayes sats tr:Bayes teoremi uk:Теорема Баєса ur:بےز مسلئہ اثباتی vi:Định lý Bayes wuu:Bayes定理 zh:贝叶斯定理