مبرهنة القيمة الوسطى

ملف:MKWosta.png

لكل مستقيم يقطع منحنى قابل للاشتقاق، يوجد مستقيم مماس لهذا المنحنى مواز للمستقيم القاطع.

مبرهنة القيمة الوسطى هي نتيجة لمبرهنة رول.إن التغير الجزئي لكل دالة ذات متغير حقيقي متواصلة وقابلة للاشتقاق يقابل ميل إحدى مماساتها. وبأكثر دقة :

النص : لكل دالة ذات متغير حقيقي f : [a, b] -> R حيث a < b، متواصلة على النطاق المغلق [a, b] وقابلة للاشتقاق على النطاق المفتوح ]a, b[، تؤكد مبرهنة القيمة الوسطى على وجود عدد حقيقي c موجود في النطاق ]a, b[ بحيث :

$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

في الحقيقة، وتبعا لهذه الشروط، تكون قيمة الدالة $x\mapsto f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\times (x-a)$ في a وb واحدة. وبتطبيق مبرهنة رول، فإنها تملك نقطة معينة c في ]a ; b[ ونظرا لأن المشتقة في c تساوي الصفر فإننا نجد المعادلة السابقة.

هندسيا، تقترح علينا مبرهنة القيمة الوسطى أنه لكل مستقيم يقطع منحنى قابل للاشتقاق، يوجد مستقيم مماس لهذا المنحنى مواز للمستقيم القاطع.

لامساواة القيمة الوسطى

لتكن f : [a, b] -> R دالة ذات قيم حقيقية حيث a < b. إذا كان :

• f متواصلة على النطاق المغلق [a, b]
• f قابلة للاشتقاق على النطاق المفتوح ]a, b[
• يوجد عدد حقيقي موجب k، حيث لكل عنصر x من ]a, b[، |f'(x)| < k،

فإن $\left|\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right|\le k$.

الاستدلال :

نطبق مبرهنة القيمة الوسطى ونضع |f'(x)| < k.

و لتقريب الصورة نستطيع أن نصور المبرهنة كما يلي : "إذا كانت السرعة الآنية لسيارة ما غير قادرة على تجاوز سرعة 120 كم/س، فإن معدل سرعتها لا يمكنه ذلك."

مبرهنة القيمة الوسطى المعممّة

تطبّق هذه المبرهنة في حالة دالتين متواصلتين على [a ; b]، قابلتان للاشتقاق على ]a ; b[. وهو يؤكد وجود عدد حقيقي c من النطاق ]a ; b[ بحيث

$(f(b)-f(a))g^{\prime }(c)-(g(b)-g(a))f^{\prime }(c)=0$

هندسيا، تعني هذه المعادلة أن كل منحنى لدالة من $\mathbb{ℝ}$ في ${\mathbb{ℝ}}^2$ قابلة للاشتقاق، يملك مماسا موازيا لإحدى حباله. في حالة مخالفة g' للصفر على ]a ; b[، يمكن أن تكتب المعادلة

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}$

و تحت هذه الصيغة، تستعمل المبرهنة للاستدلال على قاعدة اوبيتال.

الاستدلال :

نطبق مبرهنة رول على الدالة

$h(t)=(f(b)-f(a))(g(t)-g(a))-(g(b)-g(a))(f(t)-f(a))$

إن الدالة h متواصلة على [a ; b]، وقابلة للاشتقاق على ]a ; b[، وتساوي صفرا في a وb وبالتالي $h(a)=h(b)$. إذن يوجد عدد حقيقي c من ]a ; b[ بحيث h'(c) = 0. وهو ما يؤدي إلى

$(f(b)-f(a))g^{\prime }(c)-(g(b)-g(a))f^{\prime }(c)=0$

ولو كانت g' كذلك مخالفة للصفر على ]a ; b[ فإننا نستطيع أن نؤكد أن $g(b)\ne g(a)$ ويكفي أن نقسم بهما فنجد

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}$

مبرهنة القيمة الوسطى والتكاملات

يمكن إعادة صياغة مبرهنة القيمة الوسطى في شكل تكامل. لكل دالتين ذوات متغيّر حقيقي، u وv متواصلتين على النطاق [a ; b]، حيث v مخالفة

للصفر على [a ; b]، يوجد عدد حقيقي c من ]a، b[ حيث

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}u(t)v(t)dt=u(c)\underset{a}{\overset{b}{\int }}v(t)dt$.

و هذه الكتابة منطقية نظرا لأن الدوال المتواصلة متكاملة محليا حسب ريمان.

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

ca:Teorema del valor mitjà cs:Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu da:Middelværdisætningen de:Mittelwertsatz der Differentialrechnung el:Θεώρημα μέσης τιμής Mean value theorem]] eo:Meznombra valora teoremo es:Teorema del valor medio et:Lagrange'i keskväärtusteoreem eu:Batez besteko balioaren teorema fa:قضیه مقدار میانگین fi:Differentiaalilaskennan väliarvolause fr:Théorème des accroissements finis gl:Teorema do valor medio he:משפט הערך הממוצע של לגראנז' hu:Lagrange-féle középértéktétel id:Teorema nilai purata is:Meðalgildissetningin it:Teorema di Lagrange ja:平均値の定理 ko:평균값 정리 lt:Lagranžo vidutinės reikšmės teorema mk:Теореми за средна вредност nl:Middelwaardestelling pl:Twierdzenie Lagrange'a (rachunek różniczkowy) pms:Teorema ëd Cauchy dle chërsùe finìe pt:Teorema do valor médio ru:Формула конечных приращений sk:Lagrangeova veta o strednej hodnote sl:Izrek o povprečni vrednosti sr:Лагранжова теорема sv:Medelvärdessatsen th:ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย tr:Ortalama değer teoremi uk:Теорема Лагранжа ur:قضیہ قدر وسطی zh:中值定理