قاعدة شبه المنحرف

ملف:Trapezoidal rule illustration.png

الدالة f(x) (باللون الأزرق) تم تقريبها بدالة خطية (باللون الأحمر).

ملف:Composite trapezoidal rule illustration.png

توضيح لقاعدة شبه المنحرف المركبة (بتشبيك غير منتظم).

ملف:Trapezoidal rule illustration small.svg

شكل توضيحي لقاعدة شبه المنحرف (بتشبيك منتظم).

في الرياضيات، تعتبر قاعدة شبة المنحرف إحدى طرق الحساب التقريبي للتكامل المحدد.

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx.$

تعمل قاعدة شبه المنحرف بتقريب المنطقة تحت منحنى الدالة $f(x)$ بشبه منحرف وحساب مساحته. ينجم عن ذلك

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx (b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}.$

لحساب التكامل بدقة أفضل, يمكن فصل فترة التكامل $[a,b]$ أولا إلىn فترات أصغر, ومن ثم تطبيق قاعدة شبه المنحرف على كل فترة. يمكن تحصيل قاعدة شبه المنحرف المركب:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{b-a}{n}[\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum _{k=1}^{n-1}f(a+k\frac{b-a}{n})].$

ويمكن صياغة هذا بشكل اخر:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{b-a}{2n}(f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\cdots +2f(x_{n-1})+f(x_n))$

حيث

$x_k=a+k\frac{b-a}{n},\text{ for }k=0,1,\dots ,n$

تحليل الخطأ

يعرف الخطأ في قاعدة شبه المنحرف بأنه الفرق بين قيمة التكامل والقيمة العددية:

$\text{error}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx-\frac{b-a}{n}[\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum _{k=1}^{n-1}f(a+k\frac{b-a}{n})].$

يمكن كتابة هذا الخطأ بالشكل

$\text{error}=-\frac{(b-a{)}^3}{12n^2}{f}^{″}(\xi ),$

حيثξ عدد ما بين a وb.

يعطى تخمين الخطأ المقارب لـ n → ∞ بالعلاقة

$\text{error}=-\frac{(b-a{)}^2}{12n^2}(f^{\prime }(b)-f^{\prime }(a))+O(n^{-3}).$

الحدود الأخرى لهذا الخطأ يمكن إيجادها من صيغة مجموع أويلر-ماكلورين.

البرمجة

مثال على قاعدة شبه المنحرف مكتوب بلغة البايثون <source lang="python">

1. !/usr/bin/env python

def trapezoidal_rule(f, a, b, N):

   """Approximate the definite integral of f from a to b by the
   composite trapezoidal rule, using N subintervals"""
   return (b-a) * (f(a)/2 + f(b)/2 + sum([f(a + (b-a)*k/N) for k in range(1,N)])) / N

1. test

print trapezoidal_rule(lambda x:x**9, 0.0, 10.0, 100000) </source>

إنظر أيضا

• طريقة المستطيل
• قاعدة سمبسون
• تكامل رومبرغ
• صيغ نيوتن-كوت

مراجع

• Atkinson, Kendall A. (1989), An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50023-0 ‎.
• Burden, Richard L. (2000), Numerical Analysis (7th Ed. ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-38216-9 ‎.

ca:Mètode trapezial de:Trapezregel Trapezoidal rule]] es:Regla del trapecio fi:Puolisuunnikassääntö fr:Méthode des trapèzes hu:Trapézszabály it:Regola del trapezio ja:台形公式 ko:사다리꼴 공식 nl:Trapeziumregel pl:Wzór trapezów ru:Метод трапеций sr:Трапезоидно правило sv:Trapetsmetoden uk:Метод трапецій (математика) zh:梯形公式