دالة الكثافة الاحتمالية

في نظرية الاحتمالات، دالة الكثافة الاحتمالية (د.ك.ا) probability density function أو (pdf) هي الدالة الممثلة لأي توزيع احتمالي عن طريق التكامل. وتكون دالة الكثافة الاحتمالية موجبة دائمًا، كما ويكون تكاملها من ∞- إلى ∞+ مساويًا لواحد:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f\left(x\right)dx=1$

يمكن وصف دالة الكثافة الاحتمالية بأنها عبارة عن تقويم لاستمرارية منسّج(أي Histogram) الذي يمثل التكرارات النسبية ضمن مجالات النتائج البيانية.

توزيعات مستمرة بمتغير واحد

تكون للمتغير العشوائي $X$ دالة كثافة احتمالية $f\left(X\right)$، حيث قيم هذه الدالة غير سالبة وهي قابلة للتكامل حسب ليبيغ، إذا ما تحقّق :

$P[a\le X\le b]=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$

أي أنّ الاحتمال بأن يتخذ المتغير $X$ قيمًا في الفترة $[a,b]$ مساوية لتكامل دالة الكثافة الاحتمالية في نفس الفترة. من هنا، فإذا كانت $F$ هي دالة التوزيع التراكمي للمتغير $X$، يتحقق:

$,F\left(x\right)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f\left(u\right)du$

وكذلك، فإنّ:

$f\left(x\right)=\frac{d}{dx}F\left(x\right)$

من هنا، فإذا كان لدينا توزريعًا احتماليًا له كثافة $f\left(x\right)$, عندئذ يكون الاحتمال للحصول على قيم في المجال اللامتناهي $[x,x+dx]$ هو $f\left(x\right)dx$.

دوال كثافة احتمالية مهمة

• التوزيع المنتظم هو أحد أكثر التوزيعات أهمية واستعمالاً. في صيغته المستمرة نقول أنّ للمتغير العشوائي X توزيعًا منتظمًا في الفترة $[a,b]$ إذا كان احتمال حصول X على قيمة ما في فترة جزئية محتواة في الفترة $[a,b]$ مساويًا لاحتمال حصوله على قيمة ما في فترة جزئية أخرى محتواة في الفترة $[a,b]$، بشرط أن تكون الفترتان بنفس الطول. هذا يقضي بأن يكون لـX نفس الكثافة الاحتمالية على طول الفترة $[a,b]$، أي:

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{b-a}a\le x\le b\\ 0x<a,x>b\end{array}$

• بالنسبة للتوزيع الاحتمالي الطبيعي أو الغاوسي، فإنّ دالة الكثافة الاحتمالية هي:

$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$

هذا في حالة كون المتغير العشوائي تابع لتوزيع طبيعي معياري، أي أنّه ذو قيمة متوقّعة مساوية لصفر، وتباين مساوٍ لواحد. أمّا إذا كانت القيمة المتوقّعة مساوية لـ-$\mu$ والتباين مساويًا لـ-${\sigma }^2$ تكتب دالة الكثافة الاحتمالية كالتالي:

$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}$

استعمالات

• حساب القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي ما يتم وفق المعادلة التالية:

$E\left[X\right]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}xf\left(x\right)dx$

أي أنّ القيمة المتوقعة لمتغيّر عشوائي هي عبارة عن مركز ثقل دالة الكثافة الاحتمالية خاصته.

أنظر أيضًا

• دالة توزيع تراكمي
• دالة الإمكان
• دالة مولدة عزم

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

ca:Funció de densitat de probabilitat da:Sandsynlighedstæthedsfunktion de:Dichtefunktion el:Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Probability density function]] eo:Probablodensa funkcio es:Función de densidad de probabilidad fa:تابع چگالی احتمال fr:Densité de probabilité gl:Función de densidade he:פונקציית צפיפות hu:Sűrűségfüggvény id:Fungsi kepekatan probabilitas it:Funzione di densità di probabilità ka:ალბათური განაწილების სიმკვრივე ko:확률 밀도 함수 nl:Kansdichtheid no:Tetthetsfunksjon pl:Funkcja gęstości prawdopodobieństwa pt:Função densidade ru:Плотность вероятности sh:Raspodjela vjerojatnosti sl:Funkcija gostote verjetnosti sr:Расподела вероватноће su:Fungsi dénsitas probabilitas sv:Täthetsfunktion tr:Olasılık yoğunluk fonksiyonu uk:Густина імовірності ur:Probability density function vi:Hàm mật độ xác suất zh:機率密度函數