حذف غاوس-جوردان

في الجبر الخطي، يعتبر حذف غاوس-جوردان نسخة عن الحذف الغاوسي والذي يضع أصفارا فوق وتحت عنصر المحور عندما يتحرك من أعلى صف في المصفوفة المعطاة إلى الأسفل. أي أنه يعيد المصفوفة إلى الصورة المثلثية.

تعود التسمية إلى كارل فريدريك غاوس ووليام جوردان.

تطبيقات إيجاد المعكوس

يمكن استعمال حذف غاوس-جوردان في المصفوفة المربعة لحساب معكوسها كما يلي.

$[AI]\Rightarrow A^{-1}[AI]\Rightarrow [I{A}^{-1}].$

إذا كانت المصفوفة المربعة الأصلية, $A$, معطاة بالتعبير:

$A=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right].$

حينئذ يمكن بالاستعانة بمصفوفة الوحدة الحصول على:

$[AI]=\left[\begin{array}{cccccc}2& -1& 0& 1& 0& 0\\ -1& 2& -1& 0& 1& 0\\ 0& -1& 2& 0& 0& 1\end{array}\right].$

وبتطبيق عمليات الصف الأساسية على $[AI]$ المصفوفة حتى تصل $A$ صورة الصف المخفض يمكن في النهاية الحصول على النتيجة:

$[I{A}^{-1}]=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& \frac{3}{4}& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}\\ 0& 1& 0& \frac{1}{2}& 1& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 1& \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{3}{4}\end{array}\right].$

والان بعكس الوسيط, يمكن الحصول على:

$I=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{3}{4}& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}& 1& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{3}{4}\end{array}\right].$

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

هذه بذرة مقالة عن الرياضيات تحتاج للنمو والتحسين، فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.

de:Gauß-Jordan-Algorithmus es:Eliminación de Gauss-Jordan fr:Élimination de Gauss-Jordan id:Eliminasi Gauss-Jordan is:Gauß-Jordan eyðing it:Algoritmo di Gauss-Jordan ko:가우스-요르단 소거법 nl:Gauss-Jordaneliminatie pt:Eliminação de Gauss-Jordan ru:Метод Гаусса — Жордана uk:Метод Гауса — Жордана zh:高斯-若爾當消元法