ثنائي حد الكرخي-نيوتن

ثنائي نيوتن هي صيغة وضعها نيوتن لإيجاد نشر لثنائي مرفوع بقوة صحيحة ما. ويطلق على هذه الصيغة صيغة ثنائي نيوتن، أو ببساطة صيغة الثنائي .

الصيغة

فلنعتبر ثنائيا متكونا من عنصرين x وy معرفين على مجموعة حيث xy=yx، وعددا صحيحا طبييعا n،

(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{n - k} y^{k}

حيث الأعداد $(\binom{n}{k})$ (و التي تكتب أحيانا $n C_{k}$ ) هي الضوارب الثنائية.

هذا المجموع يعتمد على الضوارب الثنائية (التوافيق) الموجودة على أحد سطور مثلث باسكال.

تغيير y بـ - y داخل الصيغة، يعطي الصيغة :

(x - y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) x^{n - k} y^{k}

مثال :

n = 2, (x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}

n = 3, (x - y)^{3} = x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}

n = 4, (x + y)^{4} = x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + y^{4}

فلتكن x، y عناصر من مجموعة حيث xy=yx وn عددا طبيعيا صحيحا.

(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{n - k} y^{k}

فلنبين هذه الصيغة بالـ "الطريقة التراجعية" :

n = 0, (x + y)^{0} = 1 = (\binom{0}{0}) x^{0} y^{0}

n = 1, (x + y)^{1} = x + y = (\binom{1}{0}) x^{1} y^{0} + (\binom{1}{1}) x^{0} y^{1}

فليكن n عددا صحيحا طبيعيا أكبر أو مساو لـ 1, فلنبين أن العلاقات صحيحة لـ n + 1 إذا كانت صحيحة لـ n:

حسب الافتراض الأول :

(x + y)^{n + 1} = (x + y) \cdot \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{n - k} y^{k},

بتوزيعية $\cdot$ على $+$ :

(x + y)^{n + 1} = x^{n + 1} + x \cdot \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) x^{n - k} y^{k} + y \cdot \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{n}{k}) x^{n - k} y^{k} + y^{n + 1}

بالتفكيك إلى جذاء :

(x + y)^{n + 1} = x^{n + 1} + \sum_{k = 1}^{n} [(\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k - 1})] x^{n - k + 1} y^{k} + y^{n + 1}

باستعمال صيغة مثلث باسكال :

(x + y)^{n + 1} = x^{n + 1} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n + 1}{k}) x^{n - k + 1} y^{k} + y^{n + 1}

و هو ما ينهي التبيين الافتراضى.