أحادية حدود

في الرياضيات، في سياق كثيرات الحدود، نعني بعبارة أحادية حدود أحد أمرين مختلفين:

• مضاريب قوى المتغيرات.
• أو المعنى السابق بالإضافة للسماح بالضرب في أية ثوابت.

هذا المقال يركز على المعنى الأول.

أحادية الحدود كأساسات

الحقيقة الأجدر بالملاحظة حول أحاديات الحدود هي أن أي أحادية حدود تكون تراكب خطي منها، بحيث يمكنها العمل كأساسات متجهة فضاء متجه من كثيرات الحدود.

العدد

عدد أحاديات الحدود من الدرجة d في n من المتغيرات هو عدد التوافيق مع التكرار (لا يهم الترتيب، ويمكن تكرارالمتغيرات)، والتي تعطى بمعامل المجموعة المتعددة $\left((\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{d})\right).$ بدلالة معاملات ثنائية حدودومن ثم مضروب تصاعدي, يعطى هذا بالعلاقة

$\left((\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{d})\right)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d-1}{d})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{d+(n-1)}{n-1})=\frac{1}{(n-1)!}(d+1{)}^{(n-1)}.$

الصورة الأخيرة مفيدة بالذات كوننا نثبت عادة عدد المتغيرات ونغير في درجة بالمقابل لتثبيت بعد الفضاء. من هذا التعبير يجد المرء أنه لأجل n ثابتة يكون عدد أحاديات الحدودمن الدرجة d هو كثيرة حدود في d من الدرجة $n-1$ ومعامل أسبق $1/(n-1)!$

فمثلاً، عدد أحاديات الحدودفي ثلاثة متغيرات ($n=3$) هو $\frac{1}{2}(d+1{)}^{(2)}=\frac{1}{2}(d+1)(d+2),$ يكون الأعداد المثلثية، التي حدودها الأولى هي $1,3,6,10.$

علامات

يعد تمثيل أحاديات الحدود مطلوبا في مجالات مثل المعادلات التفاضلية الجزئية. إذا كانت المتغيرات المستعملة تشكل عائلة مفهرسة مثل $x_1$, $x_2$, $x_3$,...، فإن من المفيد استعمال علامة متعددة الفهرسة: إذا كتبنا

$\alpha =(a,b,c)$

يمكن تعريف

$x^{\alpha }=x_1^a{x}_2^b{x}_3^c$

وتوفير الكثير من الوقت والكتابة.

إنظر أيضا

• تمثيل أحادية حدود
• كثيرة حدود متجانسة
• دالة متجانسة

ملاحظات

az:Birhədli bg:Моном ca:Monomi cs:Monom de:Monom el:Μονώνυμο Monomial]] es:Monomio et:Üksliige fa:تک‌جمله‌ای fi:Monomi fr:Monôme (mathématiques) hu:Monom io:Monomio it:Monomio lmo:Munomi lt:Vienanaris lv:Monoms ml:ഏകപദം nl:Eenterm pl:Jednomian pt:Monômio ru:Одночлен sl:Monom sv:Monom th:เอกนาม zh:幂函数