استيفاء

في الرياضيات، الاستيفاء أو الاستقراء الداخلي interpolation (يستخدم أحيانا مصطلح استكمال أو استكمال داخلي) هي أحد الطرق الرياضية لإنشاء نقاط بيانية جديدة اعتمادا على مجموعة متقطعة discrete من النقاط البيانية المحددة سلفا (مستوفين كافة النقاط).

في الهندسة التطبيقية والعلوم، غالبا ما تكون نتائج التجارب مجموعة من النقاط البيانية data points، تؤخذ بالاستعيان الإحصائي sampling أو من خلال إجراء تجربة في شروط محددة، يلي تحديد هذه النقاط تشكيل الدالة الرياضية التي تناسب بأقرب شكل نقاط البيانات الموجودة لدينا. هذه العملية تدعى ملائمة المنحنى curve fitting. ويعتبر الاستيفاء (الاستقراء الداخلي) حالة خاصة من ملائمة المنحنى، يجب أن يمر فيه المنحنى تماما من النقاط البيانية (استيفاء كامل النقاط في عملية الملائمة).

مشكلة أخرى مختلفة شديدة الارتباط بالاستيفاء هي عملية تقريب دالة معقدة عن طريق دالة بسيطة. فإذا كنا نعرف دالة ما لكنها كانت غاية في التعقيد لنقوم بتقدير صيغتها بشكل دقيق، عندئذ نعمد لتقريبها مع أبسط دالة بسيطة قريبة منها.

في هذه الحالة يمكننا أن نختار عدة نقاط بيانية من الدالة المعقدة، منشئين جدول مظهر lookup table، ونحاول أن نستوفي تلك النقاط لتشكيل دالة أبسط. بالطبع نتائج الدالة المبسطة لن تكون دقيقة كاستخدام الدالة المعقدة الأصلية لكن النتيجة تعتبر تقريبا جيدة وذلك يعتمد على نطاق الاستخدام والمشكلة وطريقة الاستيفاء interpolation method المستخدمة لتحقيق التبسيط المنشود.

من الجدير بالذكر أن هناك نوعا آخر مختلف تماما من الاستيفاء في الرياضيات، وهو ما يدعى "استيفاء المؤثرات" interpolation of operators. النتائج الأساسية لاستيفاء المؤثرات يمكن حصرها في مبرهنة ريزس-ثورن Riesz-Thorin theorem ومبرهنة ماركينكيويكس Marcinkiewicz theorem. هناك أيضا العديد من النتائج الأخرى.

تعريف

بإعطاء متتالية من n عدد مختلف x_k ندعوها بالعقد nodes ومن أجل كل عدد x_k يوجد عدد آخر y_k, فتكون المهمة هي إيجاد الدالة الرياضية f بحيث يتحقق :

$f(x_k)=y_k\text{, }k=1,\dots ,n$

ندعو زوج القيم x_k,y_k نقطة بيانية data point (حيث يعتبران إحداثيي نقطة يتم تمثيلها في جملة إحداثية) وندعو الدالة f المستوفي interpolant لكل النقاط البيانية.

عندما تعطى القيم y_k بواسطة دالة معروفة، نكتب أحيانا f_k.

مثال

مثلا، لنفترض أنه لدينا جدول مثل التالي، يعطي بعض القيم لدالة غير معروفة f.

ملف:Interpolation Data.png

مخطط للنقاط البيانية كما بعطيها الجدول.

	x		f(x)
	0		0
	1		0	.	8415
	2		0	.	9093
	3		0	.	1411
	4		−0	.	7568
	5		−0	.	9589
	6		−0	.	2794

ما هي القيمة التي تعطيها الدالة عندما يكون، لنقل, x = 2.5.. ؟ الاستيفاء يجيب عن مثل هذه الأسئلة..

هناك عدة أنواع من طرق الاستيفاء. ما يهم عند اعتماد طريقة ما هو : مدى دقة الطريقة ؟ كلفة الطريقة (زمنيا وحسابيا) ؟ مدى ملاسة Smoothness الدالة المستوفية ؟ ما هو عدد النقاط البيانية التي نحتاجها في هذه الطريقة ؟.

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

bg:Интерполация bs:Interpolacija ca:Interpolació cs:Interpolace da:Interpolation de:Interpolation (Mathematik) Interpolation]] es:Interpolación fa:درون‌یابی fr:Interpolation numérique he:אינטרפולציה hi:अंतर्वेशन hr:Interpolacija hu:Interpoláció it:Interpolazione ja:内挿 nl:Interpolatie pl:Interpolacja (matematyka) pt:Interpolação ru:Интерполяция sh:Interpolacija sl:Interpolacija sr:Интерполација sv:Interpolation ta:இடைக்கணிப்பு tr:İnterpolasyon uk:Інтерполяція (математика) ur:استیفاء zh:插值